2010 全国 I 卷（旧） 数学

（5分）复数$\frac{3+2\mathrm{i}}{2-3\mathrm{i}}=$（　　）

（5分）记$\cos(-80^\circ)=k$，那么$\tan100^\circ=$（　　）

（5分）若变量x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \texttt Y } ^ { \leqslant } 1 } \\ { { \texttt x } + { \texttt y } { \geqslant } 0 } \\ { { \texttt x } - { \texttt y } - 2 { \leqslant } 0 } \end{array} \right.$ ，则 $k = x \mathrm { ~ - ~ } 2 y$ 的最大值为（）

（5分）已知各项均为正数的等比数列 $\{ a _ { 1 } \} , ~ { \mathsf { a } } _ { 1 } { \mathsf { a } } _ { 2 } { \mathsf { a } } _ { 3 } { = } 5 , ~ { \mathsf { a } } _ { 7 } { \mathsf { a } } _ { 8 } { \mathsf { a } } _ { 9 } { = } 1 0$ ，则 $\mathtt { a } _ { 4 } \mathtt { a } _ { 5 } \mathtt { a } _ { 6 } =$ （　　） A $5 \sqrt { 2 }$ B．7 C．6 D $4 \sqrt { 2 }$

（5分）$(1+2\sqrt{x})^3(1-\sqrt[3]{x})^5$ 的展开式中 $x$ 的系数是（　　）

（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　）

（5分）正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中， $\mathsf { B B } _ { 1 }$ 与平面 $\mathsf { A C D } _ { 1 }$ 所成角的余弦值为（）A $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ B $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ C $\frac { 2 } { 3 }$ D $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$

（5分）设 $\mathsf { a } { = } | \mathsf { o g } _ { 3 } 2$ $b = 1 n 2$ $c = 5 ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$ ，则（ ）A $\mathsf { a } { < } \mathsf { b } { < } \mathsf { c }$ B $\mathsf { b } { < } \mathsf { c } { < } \mathsf { a }$ C $c < a < b$ D $\mathsf { c } { < } { \mathsf { b } } { < } { \mathsf { a } }$

（5分）已知 $\mathsf { F } _ { 1 } , ~ \mathsf { F } _ { 2 }$ 为双曲线C： $\tt x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1$ 的左、右焦点，点P在C上， $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 6$ $0 ^ { \circ }$ ，则P到x轴的距离为（　　） A $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 6 } } { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D $\sqrt { 6 }$

（5分）已知函数f $\mathbf { \tau } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \eta } = \left| \mathbf { g } \mathbf { x } \right|$ ，若 $\cdot 0 < a < b$ ，且f（a）=f（b），则 $a + 2 b$ 的取值范围是（　　）A $( 2 { \sqrt { 2 } } , ~ + \infty )$ B $[ 2 \sqrt { 2 } , ~ + \infty )$ C．（3， $+ \infty )$ D $[ 3 , \ + \infty )$

（5分）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么 $\overrightarrow { \mathrm { P A } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { P B } }$ 的最小值为（　　）A $- 4 + { \sqrt { 2 } }$ B $- 3 + { \sqrt { 2 } }$ C $- 4 + 2 \sqrt { 2 }$ D． $- 3 + 2 \sqrt { 2 }$

（5分）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若 $A B = C D = 2$ ，则四面体ABCD的体积的最大值为（　　）A $\frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { 3 }$ B $\frac { 4 { \sqrt { 3 } } } { 3 }$ C $2 \sqrt { 3 }$ D $\frac { 8 { \sqrt { 3 } } } { 3 }$

（5分）已知$\alpha$为第三象限的角，$\cos2\alpha=-\frac{3}{5}$，则$\tan(\frac{\pi}{4}+2\alpha)=$____．

（10分）已知 $\triangle A B C$ 的内角A，B及其对边a，b满足a+b=acotA+bcotB，求内角C

（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审

（Ⅰ）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

（Ⅱ）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率

（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，$AB=AD=1$，$DC=SD=2$，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC

（Ⅰ）证明：$SE=2EB$；

（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小

（12分）已知抛物线C： $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

（Ⅱ）设 $\overrightarrow { F _ { A } } \cdot \overrightarrow { F _ { B } } = \frac { 8 } { 9 } ,$ ，求△BDK的内切圆M的方程