2013 地方卷 · 文 数学

已知集合 $U=\{1,2,3,4\}$，集合 $A=\{1,2\}, B=\{2,3\}$，则 $\breve{\partial}_{U}(A \cup B)=$

命题＂对任意 $x \in R$，都有 $x^{2} \geq 0$＂的否定为

函数 $y=\frac{1}{\log _{2}(x-2)}$ 的定义域为

设 $P$ 是圆 $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=4$ 上的动点，$Q$ 是直线 $x=-3$ 上

的动点，则 $|P Q|$ 的最小值为

执行如题（5）图所示的程序框图，则输出的 $k$ 的值是

下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间 $[22,30$ ）内的概率为

某几何体的三视图如题（8）所示，则该几何体的表面积为

已知函数 $f(x)=a x^{3}+b \sin x+4(a, b \in R), f\left(\lg \left(\log _{2} 10\right)\right)=5$，则 $f(\lg (\lg 2))=$

设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$、所成的角为 $60^{0}$ 的直线
$A_{1} B_{1}$ 和 $A_{2} B_{2}$，使 $\left|A_{1} B_{1}\right|=\left|A_{2} B_{2}\right|$，其中 $A_{1}, B_{1}$ 和 $A_{2}, B_{2}$ 分别是这对直线与双曲线

$C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是

若 $2, a, b, c, 9$ 成等差数列，则 $c-a=$ $\_\_\_\_$．

若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为 $\_\_\_\_$．

$O A$ 为边，$O B$ 为对角线的矩形中， $\overrightarrow{O A}=(-3,1), \overrightarrow{O B}=(-2, k)$，则实数 $k=$ $\_\_\_\_$．

设 $0 \leq \alpha \leq \pi$，不等式 $8 x^{2}-(8 \sin \alpha) x+\cos 2 \alpha \geq 0$ 对 $x \in R$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$．

（本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分）
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：$a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}, n \in N_{+}$．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式及前 $n$ 项和 $S_{n}$；
（II）已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，$T_{n}$ 为前 $n$ 项和，且 $b_{1}=a_{2}, b_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}$，求 $T_{20}$．

（本小题满分 13 分，（I）小问 9分，（II）、（III）小问各2分）
从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 $i$ 个家庭的月收入 $x_{i}$（单位：千元）与月储蓄 $y_{i}$（单位：千元）的数据资料，算得 $\sum_{i=1}^{10} x_{i}=80, \sum_{i=1}^{10} y_{i}=20, \sum_{i=1}^{10} x_{i} y_{i}=184$，

$$ \sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2}=720 $$

（I）求家庭的月储蓄 $y$ 对月收入 $x$ 的线性回归方程 $y=b x+a$；
（II）判断变量 $x$ 与 $y$ 之间是正相关还是负相关；
（III）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄．

附：线性回归方程 $y=b x+a$ 中，$b=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-\overline{n x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\bar{n} \bar{x}^{2}}, a=\bar{y}-\overline{b x}$，其中 $\bar{x}, \bar{y}$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$．

（本小题满分 13 分，（I）小问 4 分，（II）小问 9 分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A$、 $B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$，且 $a^{2}=b^{2}+c^{2}+\sqrt{3} a b$．（I）求 $A$；（II）设 $a=\sqrt{3}, ~ S$ 为 $\triangle A B C$ 的面积，求 $S+3 \cos B \cos C$ 的最大值，并指出此时 $B$ 的值．

（本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分）
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）。设该蓄水池的底面半径为 $r$ 米，高为 $h$ 米，体积为 $V$ 立方米。假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为 100 元／平方米，底面的建造成本为 160 元／平方米，该蓄水池的总建造成本为 12000 $\pi$ 元（ $\pi$ 为圆周率）。
（I）将 $V$ 表示成 $r$ 的函数 $V(r)$，并求该函数的定义域；
（II）讨论函数 $V(r)$ 的单调性，并确定 $r$ 和 $h$ 为何值时该蓄水池的体积最大．