2013 新课标 I 卷 · 理 数学

（5分）已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x>0\right\}, B=\{x \mid-\sqrt{5}<x<\sqrt{5}\}$ ，则（）

（5分）若复数 $z$ 满足 $(3-4 i) z=|4+3 i|$ ，则 $z$ 的虚部为（ ）

（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大。在下面的抽样方法中 ，最合理的抽样方法是

（5分）已知双曲线C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为

（5分）执行程序框图，如果输入的 $\mathrm{t} \in[-1,3]$ ，则输出的 s 属于（ ）

（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将

一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为（）

（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{m-1}=-2, S_{m}=0, S_{m+1}=3$ ，则 $m=$

（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（5分）设 $m$ 为正整数，（ $x+y$ ）${ }^{2 m}$ 展开式的二项式系数的最大值为 $a, ~(x+y 2 m+1$ 展开式的二项式系数的最大值为 $b$ ，若 $13 a=7 b$ ，则 $m=$

（5分）已知陏圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F(3,0)$ ，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A , B$ 两点．若 $A B$ 的中点坐标为 $(1,-1)$ ，则 $E$ 的方程为

（5分）已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}+2 x, x \leqslant 0 \\ \ln (x+1), x>0\end{array}\right.$ ，若 $|f(x)| \geq a x$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

（5分）设 $\triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的三边长分别为 $a_{n}, b_{n}, c_{n}, \triangle A_{n} B_{n} C_{n}$ 的面积为 $S_{n}, n=1$ ， 2，3．．．若 $b_{1}>c_{1}, b_{1}+c_{1}=2 a_{1}, a_{n+1}=a_{n}, b_{n+1}=\frac{c_{n}+a_{n}}{2}, c_{n+1}=\frac{b_{n}+a_{n}}{2}$ ，则（

（5分）已知两个单位向量 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，$\vec{c}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$．若 $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$ ，则 $t=$____．

（5分）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\mathrm{S}_{n}=\frac{2}{3} \mathrm{a}_{n}+\frac{1}{3}$ ，则数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\mathrm{a}_{n}=$
$\_\_\_\_$ $(-2)^{n-1}$. ．

（5分）设当 $x=\theta$ 时，函数 $f(x)=\sin x-2 \cos x$ 取得最大值，则 $\cos \theta=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．

（5分）若函数 $f(x)=\left(1-x^{2}\right)\left(x^{2}+a x+b\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 16 ．

（12分）如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle A B C=90^{\circ}, A B=\sqrt{3}, B C=1, P$ 为 $\triangle A B C$ 内一点 ，$\angle B P C=90^{\circ}$ ．
（1）若 $\mathrm{PB}=\frac{1}{2}$ ，求 PA ；
（2）若 $\angle A P B=150^{\circ}$ ，求 $\tan \angle P B A$ ．

（12分）已知圆M：$(x+1)^{2}+y^{2}=1$ ，圆 $N$ ：$(x-1)^{2}+y^{2}=9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C ．
（ I ）求 C 的方程；
（II） I 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线， I 与曲线 C 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，当圆 P 的半径最长时，求 $|\mathrm{AB}|$ ．

（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），若曲线$y=f$（x）和
曲线$y=g$（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线$y=4x+2$．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

（10分）（选修4－1：几何证明选讲）
如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上，$\angle A B C$ 的角平分线 $B E$ 交圆于点 $E$ ，$D B$ 垂直 $B E$ 交圆于 $D$ 。
（I）证明： $\mathrm{DB}=\mathrm{DC}$ ；
（II）设圆的半径为 $1, B C=\sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径．