2021 新课标 II 卷 数学　·　真题与答案解析

13．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 ，则该双曲线的渐近线方程为

14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ ：
（1）$f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ；
（2）当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
③$f^{\prime}(x)$ 是奇函数．

15．已知向量 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0},|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=|\vec{c}|=2, \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=$

17．记 $S_{n}$ 是公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3}=S_{5}, a_{2} a_{4}=S_{4}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；
（2）求使 $S_{n}>a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值．

21.

一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第 0 代，经过一次繁殖后为第 1 代，再经过一次繁殖后为第 2 代⋯⋯，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设 $X$ 表示 1 个微生物个体繁殖下一代的个数，$P(X=i)=p_{i}(i=0,1,2,3)$ ．
（1）已知 $p_{0}=0.4, p_{1}=0.3, p_{2}=0.2, p_{3}=0.1$ ，求 $E(X)$ ；
②设 $p$ 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，$p$ 是关于 $x$ 的方程：$p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+p_{3} x^{3}=x$的一个最小正实根，求证：当 $E(X) \leq 1$ 时，$p=1$ ，当 $E(X)>1$ 时，$p<1$ ；
（3）根据你的理解说明②问结论的实际含义。

22．已知函数 $f(x)=(x-1) e^{x}-a x^{2}+b$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：$f(x)$ 有一个零点
①$\frac{1}{2}<a \leq \frac{e^{2}}{2}, b>2 a$ ；
② $0<a<\frac{1}{2}, b \leq 2 a$ ．