2021 全国乙卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

3．已知命题 $p: \exists x \in \mathbf{R}, \sin x<1$ ；命题 $q: \forall x \in \mathbf{R}, \mathrm{e}^{|x|} \geq 1$ ，则下列命题中为真命题的是（）

6．将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）

7．把函数 $y=f(x)$ 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像，则 $f(x)=$

8．在区间 $(0,1)$ 与 $(1,2)$ 中各随机取 1 个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（ ）

9．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 $E$ ， $H, G$ 在水平线 $A C$ 上，$D E$ 和 $F G$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为＂表高＂，$E G$ 称为＂表距＂，$G C$ 和 $E H$ 都称为＂表目距＂，$G C$ 与 $E H$ 的差称为＂表目距的差＂则海岛的高 $A B=()$

10．设 $a \neq 0$ ，若 $a$ 为函数 $f(x)=a(x-a)^{2}(x-b)$ 的极大值点，则（ ）

11．设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）

13．已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\sqrt{3} x+m y=0$ ，则 $C$ 的焦距为 $\_\_\_\_$ ．

14．已知向量 $\vec{a}=(1,3), \vec{b}=(3,4)$ ，若 $(\vec{a}-\lambda \vec{b}) \perp \vec{b}$ ，则 $\lambda=$

15．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $\sqrt{3}, B=60^{\circ}, a^{2}+c^{2}=3 a c$ ，则 $b=$

21．已知抛物线 $C: x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点为 $F$ ，且 $F$ 与圆 $M: x^{2}+(y+4)^{2}=1$ 上点的距离的最小值为 4 ．
（1）求 $p$ ；
（2）若点 $P$ 在 $M$ 上，$P A, P B$ 是 $C$ 的两条切线，$A, B$ 是切点，求 $\triangle P A B$ 面积的最大值．

23．已知函数 $f(x)=|x-a|+|x+3|$ ．
（1）当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x) \geq 6$ 的解集；
（2）若 $f(x)>-a$ ，求 $a$ 的取值范围．