2022 新课标 II 卷 数学　·　真题与答案解析

4．已知向量 $\overrightarrow{\boldsymbol{a}}=(3,4), \overrightarrow{\boldsymbol{b}}=(1,0), \overrightarrow{\boldsymbol{c}}=\overrightarrow{\boldsymbol{a}}+t \overrightarrow{\boldsymbol{b}}$ ，若 $\langle\overrightarrow{\boldsymbol{a}}, \overrightarrow{\boldsymbol{c}}\rangle=\langle\overrightarrow{\boldsymbol{b}}, \overrightarrow{\boldsymbol{c}}\rangle$ ，则 $t=$（ ）

6．若 $\sin (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+\beta)=2 \sqrt{2} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \sin \beta$ ，则（ ）

8．已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，且 $f(x+y)+f(x-y)=f(x) f(y), f(1)=1$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=()$

10．已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C: y^{2}=2 p x(p>0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M(p, 0)$ ，若 $|A F|=|A M|$ ，则（ ）

14．曲线 $y=\ln |x|$ 过坐标原点的两条切线的方程为 $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ．

15．设点 $A(-2,3), B(0, a)$ ，若直线 $A B$ 关于 $y=a$ 对称的直线与圆 $(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=1$ 有公共点，则 $a$的取值范围是

16．已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，且 $|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为

17．已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 2 的等比数列，且 $a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=b_{4}-a_{4}$ ．
（1）证明：$a_{1}=b_{1}$ ；
（2）求集合 $\left\{k \mid b_{k}=a_{m}+a_{1}, 1 \leq m \leq 500\right\}$ 中元素个数．

18．记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，分别以 $a, b, c$ 为边长的三个正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，已知 $S_{1}-S_{2}+S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \sin B=\frac{1}{3}$ ．
（1）求 $\triangle A B C$ 的面积；
（2）若 $\sin A \sin C=\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $b$ 。

22．已知函数 $f(x)=x \mathrm{e}^{a x}-\mathrm{e}^{x}$ ．
①当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；
②当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$ ，求 $a$ 的取值范围；
③设 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}>\ln (n+1)$ ．