2021 上海卷 数学　·　真题与答案解析

1．已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 3 ，公差为 2 ，则 $a_{10}=$ $\_\_\_\_$ 21。
【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解。

2．已知 $z=1-3 i$ ，则 $|\bar{z}-i|=$ $\_\_\_\_$ $\sqrt{5}$。
【思路分析】由已知求得 $\bar{z}-i$ ，再由复数模的计算公式求解．

3．已知圆柱的底面半径为 1 ，高为 2 ，则圆柱的侧面积为 $\_\_\_\_$ $4 \pi$ $\_\_\_\_$ ．
【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可。

4．不等式 $\frac{2 x+5}{x-2}<1$ 的解集为＿$(-7,2)$ $\_\_\_\_$。
【思路分析】由已知进行转化 $\frac{x+7}{x-2}<0$ ，进行可求．

5．直线 $x=-2$ 与直线 $\sqrt{3} x-y+1=0$ 的夹角为 $\_\_\_\_$ $\frac{\pi}{6}$。
【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．

6．若方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y=c_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y=c_{2}\end{array}\right.$ 无解，则 $\left|\begin{array}{ll}a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2}\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ 0。
【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案。

7．已知 $(1+x)^{n}$ 的展开式中，唯有 $x^{3}$ 的系数最大，则 $(1+x)^{n}$ 的系数和为 $\_\_\_\_$ 64 ．
【思路分析】由已知可得 $n=6$ ，令 $x=1$ ，即可求得系数和．

8．已知函数 $f(x)=3^{x}+\frac{a}{3^{x}+1}(a>0)$ 的最小值为 5 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 9。

【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足＂一正、二定、三相等＂，该题只需将函数解析式变形成 $f(x)=3^{x}+1+\frac{a}{3^{x}+1}-1$ ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件。

9．在无穷等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}-a_{n}\right)=4$ ，则 $a_{2}$ 的取值范围是＿$(-4, ~ 0) \cup(0, ~ 4)-$

【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比 $q$ 的取值范围，再由极限的运算知 $a_{1}=4$ ，从而得解。

10．某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合 $\_\_\_\_$ 23种。

【思路分析】由题意知至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中，$A B , D B , E B$ 的组合不符合题意，由此求出结果。

11．已知椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<1)$ 的左、右焦点为 $F_{1} , F_{2}$ ，以 $O$ 为顶点，$F_{2}$ 为焦点作抛物线交椭圆于 $P$ ，且 $\angle P F_{1} F_{2}=45^{\circ}$ ，则抛物线的准线方程是＿$x=1-\sqrt{2}$
【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 $P F_{1}$ 的方程并与抛物线联立，求出点 $P$ 的坐标，由此可得 $P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ，进而可以求出 $P F_{1}, ~ P F_{2}$ 的长度 ，再由椭圆的定义即可求解。

12．已知 $\theta>0$ ，存在实数 $\varphi$ ，使得对任意 $n \in N^{*}, ~ \cos (n \theta+\varphi)<\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\theta$ 的最小值是＿ $\frac{2 \pi}{5}$ ．
【思路分析】在单位圆中分析可得 $\theta>\frac{\pi}{3}$ ，由 $\frac{2 \pi}{\theta} \in N^{*}$ ，即 $\theta=\frac{2 \pi}{k}, ~ k \in N^{*}$ ，即可求得 $\theta$的最小值．

13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是（ ）

14．已知集合 $A=\{x \mid x>-1, ~ x \in R\}, ~ B=\left\{x \mid x^{2}-x-2 \ldots 0, ~ x \in R\right\}$ ，则下列关系中，正确的是

15．已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $R$ ，下列是 $f(x)$ 无最大值的充分条件是（）

16．在 $\triangle A B C$ 中，$D$ 为 $B C$ 中点，$E$ 为 $A D$ 中点，则以下结论：①存在 $\triangle A B C$ ，使得 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C E}=0$ ；②存在三角形 $\triangle A B C$ ，使得 $\overrightarrow{C E} / /(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C A})$ ；它们的成立情况是（）

17．（14分）四棱锥 $P-A B C D$ ，底面为正方形 $A B C D$ ，边长为4，$E$ 为 $A B$ 中点，$P E \perp$平面 $A B C D$ 。
（1）若 $\triangle P A B$ 为等边三角形，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若 $C D$ 的中点为 $F, ~ P F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$ ，求 $P C$ 与 $A D$ 所成角的大小．

【思路分析】①由 $V=\frac{1}{3} P E \cdot S_{\text {正方形 } A B C D}$ ，代入相应数据，进行运算，即可；
②由 $P E \perp$ 平面 $A B C D$ ，知 $\angle P F E=45^{\circ}$ ，进而有 $P E=F E=4, ~ P B=2 \sqrt{5}$ ，由
$A D / / B C$ ，知 $\angle P C B$ 或其补角即为所求，可证 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，从而有 $B C \perp P B$ ，最后在 Rt $\triangle \mathrm{PBC}$ 中，由 $\tan \angle P C B=\frac{P B}{B C}$ ，得解．

18．（14分）已知 $A , B , C$ 为 $\triangle A B C$ 的三个内角，$a , b , c$ 是其三条边，$a=2$ ， $\cos C=-\frac{1}{4}$.
（1）若 $\sin A=2 \sin B$ ，求 $b , c$ ；
（2）若 $\cos \left(A-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4}{5}$ ，求 $c$ 。
【思路分析】①由已知利用正弦定理即可求解 $b$ 的值；利用余弦定理即可求解 $c$ 的值。
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得 $\cos A$ ， $\sin A$ ， $\sin C$ 的值，进而根据正弦定理可得 $c$ 的值．

19．（14分）（1）团队在 $O$ 点西侧、东侧 20 千米处设有 $A , B$ 两站点，测量距离发现一点 $P$ 满足 $|P A|-|P B|=20$ 千米，可知 $P$ 在 $A , B$ 为焦点的双曲线上，以 $O$ 点为原点，东侧为 $x$ 轴正半轴，北侧为 $y$ 轴正半轴，建立平面直角坐标系，$P$ 在北偏东 $60^{\circ}$ 处，求双曲线标准方程和 $P$ 点坐标。
（2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有 $C , D$ 两站点，测量距离发现 $|Q A|-|Q B|=30$ 千米，$|Q C|-|Q D|=10$ 千米，求 $|O Q|$（精确到1米）和 $Q$ 点位置（精确到1米， $1^{\circ}$ ）
【思路分析】（1）求出 $a, ~ c, ~ b$ 的值即可求得双曲线方程，求出直线 $O P$ 的方程，与双曲线方程联立，即可求得 $P$ 点坐标；
（2）分别求出以 $A , B$ 为焦点，以 $C, ~ D$ 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点 $Q$ 的坐标，从而求得 $|O Q|$ ，及 $Q$ 点位置。

20．（16分）已知函数 $f(x)=\sqrt{|x+a|-a}-x$ 。
（1）若 $a=1$ ，求函数的定义域；
（2）若 $a \neq 0$ ，若 $f(a x)=a$ 有2个不同实数根，求 $a$ 的取值范围；
（3）是否存在实数 $a$ ，使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性？若存在，求出 $a$ 的取值范围。
【思路分析】（1）把 $a=1$ 代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于 0 求解绝对值的不等式得答案；
②$f(a x)=a \Leftrightarrow \sqrt{|a x+a|-a}=a x+a$ ，设 $a x+a=t \ldots 0$ ，得 $a=t-t^{2}, ~ t \ldots 0$ ，求得等式右边关于 $t$ 的函数的值域可得 $a$ 的取值范围；
（3）分 $x \ldots-a$ 与 $x<-a$ 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 $f(x)$ 在定义域内具有单调性的 $a$ 的范围。

21．（18分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n} \ldots 0$ ，对任意 $n \ldots 2, ~ a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项．
（1）已知 $a_{1}=5, ~ a_{2}=3, ~ a_{4}=2$ ，求 $a_{3}$ 的所有可能取值；
（2）已知 $a_{1}=a_{4}=a_{7}=0, ~ a_{2} , a_{5} , a_{8}$ 为正数，求证：$a_{2} , a_{5} , a_{8}$ 成等比数列，并求出公比 $q$ ；
（3）已知数列中恰有3项为 0 ，即 $a_{r}=a_{s}=a_{t}=0, ~ 2<r<s<t$ ，且 $a_{1}=1, ~ a_{2}=2$ ，求 $a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1}$ 的最大值．
【思路分析】（1）根据 $a_{n}$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项建立等式，然后将 $a_{1}, ~ a_{2}, ~ a_{4}$ 的值代入即可；
（2）根据递推关系求出 $a_{5} , a_{8}$ ，然后根据等比数列的定义进行判定即可；
（3）分别求出 $a_{r+1}, ~ a_{s+1}, ~ a_{t+1}$ 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求