2021 天津卷 数学　·　真题与答案解析

1．设集合 $A=\{-1,0,1\}, B=\{1,3,5\}, C=\{0,2,4\}$ ，则 $(A \cap B) \cup C=$（）

2．已知 $a \in \mathbf{R}$ ，则＂$a>6$＂是＂$a^{2}>36$＂的（ ）

3．函数 $y=\frac{\ln |x|}{x^{2}+2}$ 的图像大致为

4.

从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部，统计其评分分数据，将所得 400 个评分数据分为 8 组：$[66,70),[70,74), \cdots$ 、 $[94,98]$ ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 $[82,86)$ 内的影视作品数量是（ ）

5．设 $a=\log _{2} 0.3, b=\log _{\frac{1}{2}} 0.4, c=0.4^{0.3}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）

6.

两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 $\frac{32 \pi}{3}$ ，两个圆锥的高之比为 $1: 3$ ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）

7．若 $2^{a}=5^{b}=10$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=()$

8.

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点重合，

抛物线的准线交双曲线于 $A, B$ 两点，交双曲线的渐近线于 $C , D$ 两点，若 $|C D|=\sqrt{2}|A B|$ ．则双曲线的离心率为（ ）

9.

设 $a \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos (2 \pi x-2 \pi a) . & x<a \\ x^{2}-2(a+1) x+a^{2}+5, & x \geq a\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内恰有6个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

10．$i$ 是虚数单位，复数 $\frac{9+2 i}{2+i}=$ $\_\_\_\_$。

11．在 $\left(2 x^{3}+\frac{1}{x}\right)^{6}$ 的展开式中，$x^{6}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ ．

12.

若斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与 $y$ 轴交于点 A ，与圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切于点 $B$ ，则 $|A B|=$ $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

13．若 $a>0, b>0$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b$ 的最小值为

14.

甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 $\frac{5}{6}$ 和 $\frac{1}{5}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 $\_\_\_\_$ ， 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 $\_\_\_\_$。

15．在边长为 1 的等边三角形 $A B C$ 中，$D$ 为线段 $B C$ 上的动点，$D E \perp A B$ 且交 $A B$ 于点 $E$ ． $D F / / A B$ 且交 $A C$ 于点 $F$ ，则 $|2 \overrightarrow{B E}+\overrightarrow{D F}|$ 的值为 $\_\_\_\_$ ；$(\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D F}) \cdot \overrightarrow{D A}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

16．在 $\triangle A B C$ ，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知
$\sin A: \sin B: \sin C=2: 1: \sqrt{2}, \quad b=\sqrt{2}$.
（I）求 $a$ 的值；
（II）求 $\cos C$ 的值；
（III）求 $\sin \left(2 C-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值．

17.

如图，在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $B C$ 的中点，$F$ 为棱 $C D$ 的中点

（I）求证：$D_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ ；
（II）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值．
（III）求二面角 $A-A_{1} C_{1}-E$ 的正弦值．

18.

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且 $|B F|=\sqrt{5}$.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$ ，过 $N$ 与 $B F$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$ ．若 $M P / / B F$ ，求直线 $l$ 的方程．

19.

已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项和为 $64 .\left\{b_{n}\right\}$ 是公比大于 0 的等比数列， $b_{1}=4, b_{3}-b_{2}=48$.

（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）记 $c_{n}=b_{2 n}+\frac{1}{b_{n}}, n \in N^{*}$ ，
（i）证明 $\left\{c_{n}^{2}-c_{2 n}\right\}$ 是等比数列；
（ii）证明 $\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k+1}}{c_{k}^{2}-c_{2 k}}}<2 \sqrt{2}\left(n \in N^{*}\right)$

20．已知 $a>0$ ，函数 $f(x)=a x-x e^{x}$ ．
（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程：
（II）证明 $f(x)$ 存在唯一的极值点
（III）若存在 $a$ ，使得 $f(x) \leq a+b$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．