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20 道真题
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（5分）（2008 • 江苏）若将复数 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 表示为 $\mathrm{a}+\mathrm{bi}(\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}, \mathrm{i}$ 是虚数单位）的形式，则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=$ $\_\_\_\_$ ．
（5分）（2008 • 江苏）若集合 $\mathrm{A}=\left\{\mathrm{x} \mid(\mathrm{x}-1)^{2}<3 \mathrm{x}+7, ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}\right\}$ ，则 $\mathrm{A} \cap \mathrm{Z}$ 中有 $\_\_\_\_$个元素。
（5分）（2008•江苏）已知向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $120^{\circ},|\overrightarrow{\mathrm{a}}|=1,|\overrightarrow{\mathrm{~b}}|=3$ ，则 $|5 \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|=$ $\_\_\_\_$ ．
（ 5 分）（ 2008 •江苏）在平面直角坐标系 $x o y$ 中，设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域，向 D 中随机投一点，则所投点在 E 中的概率是 $\_\_\_\_$。
（ 5 分）（ 2008 •江苏）某地区为了解70－80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：$h$ ），随机选择了 50 位老人进行调查，下表是这 50 位老人睡眠时间的频率分布表：
| 序号i | 分组 （睡眠时间） | 组中值（G频数 | 频率（ $\mathrm{F}_{\mathrm{i}}$ ） | |
|---|---|---|---|---|
| i） | （人数） | |||
| 1 | ［4，5） | 4.5 | 6 | 0.12 |
| 2 | ［5，6） | 5.5 | 10 | 0.20 |
| 3 | ［6，7） | 6.5 | 20 | 0.40 |
| 4 | ［7，8） | 7.5 | 10 | 0.20 |
| 5 | ［8，9］ | 8.5 | 4 | 0.08 |
在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值为 $\_\_\_\_$ ．
（5 分）（2008 • 江苏）设直线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 是曲线 $\mathrm{y}=\ln \mathrm{x}(\mathrm{x}>0)$ 的一条切线，则实数 b 的值为
$\_\_\_\_$。
（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形 ABC 的顶点分别为 $\mathrm{A}(0, \mathrm{a}), \mathrm{B}(\mathrm{b}, 0)$ ， $\mathrm{C}(\mathrm{c}, 0)$ ，点 $\mathrm{P}(0, \mathrm{p})$ 在线段 AO 上的一点（异于端点），这里 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{p}$ 均为非零实数，设直线 $\mathrm{BP}, \mathrm{CP}$ 分别与边 $A C, A B$ 交于点 $E, F$ ，某同学已正确求得直线 $O E$ 的方程为 $\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right) x+\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{a}\right) y=0$ ，请你完成直线 $O F$的方程： $\_\_\_\_$ ．
（5分）（2008•江苏）设 $x, y, z$ 为正实数，满足 $x-2 y+3 z=0$ ，则 $\frac{y^{2}}{x z}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．
（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 ~(a>b>0) ~$ 的焦距为 $2 c$ ，以 $O$ 为圆心，$a$ 为半径作圆 $M$ ，若过 $P\left(\frac{a^{2}}{c}, 0\right)$ 作圆 $M$ 的两条切线相互垂直，则随圆的离心率为 $\_\_\_\_$ ．
（5分）（2008 •江苏）满足条件 $\mathrm{AB}=2, \mathrm{AC}=\sqrt{2} \mathrm{BC}$ 的三角形 ABC 的面积的最大值是 $\_\_\_\_$。
（5分）（2008•江苏）$f(x)=a x^{3}-3 x+1$ 对于 $x \in[-1,1]$ 总有 $f(x) \geq 0$ 成立，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为始边作两个锐角 $\alpha$ ，$\beta$ ，它们的终边分别交单位圆于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点．已知 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点的横坐标分别是 $\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\tan (\alpha+\beta)$ 的值；
（2）求 $\alpha+2 \beta$ 的值．
（15分）（2008•江苏）如图，在四面体 ABCD 中， $\mathrm{CB}=\mathrm{CD}, \mathrm{AD} \perp \mathrm{BD}$ ，点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 分别是 $\mathrm{AB}, \mathrm{BD}$ 的中点．求证 ：
（1）直线 $\mathrm{EF} \|$ 面 ACD ；
（2）平面 $\mathrm{EFC} \perp$ 面 BCD ．
（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 及 CD 的中点 P 处。 $\mathrm{AB}= 20 \mathrm{~km}, ~ B C=10 \mathrm{~km}$ 。为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道 $\mathrm{AO}, \mathrm{BO}, \mathrm{PO}$ ．记铺设管道的总长度为 ykm ．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设 $\angle \mathrm{BAO}=\theta(\mathrm{rad})$ ，将 y 表示成 $\theta$ 的函数；
（ii）设 $\mathrm{OP}=\mathrm{x}(\mathrm{km})$ ，将 y 表示成 x 的函数；
（2）请你选用①中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，记二次函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+\mathrm{b}(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 与两坐标轴有三个交点。经过三个交点的圆记为C。
（1）求实数 b 的取值范围；
（2）求圆 C 的方程；
（3）问圆 C 是否经过定点（其坐标与 b 的无关）？请证明你的结论。
（15分）（2008•江苏）（1）设 $a_{1}, ~ a_{2}, ~ \ldots, ~ a_{n}$ 是各项均不为零的 $n ~(n \geq 4) ~$ 项等差数列，且公差 $d \neq 0$ ，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列。
（i）当 $n=4$ 时，求 $\frac{{ }^{a}}{d}$ 的数值；
（ii）求 n 的所有可能值．
（2）求证：对于给定的正整数 $n(n \geq 4)$ ，存在一个各项及公差均不为零的等差数列 $b_{1}, ~ b_{2}, ~ \ldots, ~ b_{n}$ ，其中任意三项 （按原来的顺序）都不能组成等比数列。
（15分）（2008•江苏）已知函数 $f_{1}(x)=3^{\left|x-p_{1}\right|}, f_{2}(x)=2 \cdot 3^{\left|x-p_{2}\right|}\left(x \in R, p_{1}, p_{2}\right.$ 为常数）．函数 $f(x)$ 定义为：对每个给定的实数 $x, f(x)=\left\{\begin{array}{lll}f_{1}(x) & \text { 若 } f_{1}(x) \leqslant f_{2}(x) \\ f_{2}(x) & \text { 若 } f_{1}(x)>f_{2}(x)\end{array}\right.$
（1）求 $f(x)=f_{1}(x)$ 对所有实数 $x$ 成立的充分必要条件（用 $p_{1}, p_{2}$ 表示）；
②设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 是两个实数，满足 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$ ，且 $\mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2} \in(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ 。若 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=\mathrm{f}(\mathrm{b})$ ，求证：函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上的单调增区间的长度之和为 $\frac{b-a}{2}$（闭区间 $[m, n]$ 的长度定义为 $n-m$ ）
（2008 • 江苏）如图，$\triangle \mathrm{ABC}$ 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于点 $\mathrm{E}, ~ \angle \mathrm{BAC}$ 的平分线与 BC 交于点 D ．求证： $\mathrm{ED}^{2}=\mathrm{EB} \bullet \mathrm{EC}$ ．
（2008 • 江苏）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 $4 \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 在矩阵 $\left|\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right|$ 对应的变换作用下得到曲线 F ，求 F 的方程。
（2008•江苏）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P(x, y)$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$ 上的一个动点，求 $S=x+y$ 的最大值．
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