2012 上海卷 数学

计算： $\frac { 3 - \mathrm { i } } { 1 + \mathrm { i } } =$ （i为虚数单位）.

函数 $f ( x ) = \left| \begin{array} { l l } { { 2 } } & { { \cos x } } \\ { { \sin x } } & { { - 1 } } \end{array} \right|$ 的值域是

若 $\vec { n } = ( - 2 , 1 )$ 是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为

（结果用反三角函数值表示）.

在 $( x - { \frac { 2 } { x } } ) ^ { 6 }$ 的二项展开式中，常数项等于

有一列正方体，棱长组成以1为首项、 $\frac { 1 } { 2 }$ 为公比的等比数列，体积分别记为 $V _ { 1 } , \enspace { \cal V } _ { 2 } , . . . , \enspace { \cal V } _ { n } , \cdot \cdot \cdot$ ，则 $\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } ( V _ { 1 } + V _ { 2 } + \cdots + V _ { n } ) =$

已知函数 $f ( x ) = e ^ { | x - a | }$ （a为常数）.若 f(x)在区间 $[ 1 , + \infty )$ 上是增函数，则a的取值范围是

若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为

已知 $y = f ( x ) + x ^ { 2 }$ 是奇函数，且 $f ( 1 ) = 1$ ，若 $g ( x ) = f ( x ) + 2$ ，则 $g ( - 1 ) = \underline { { \phantom { - } } }$

三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）.

在平行四边形ABCD中， $\angle A = \frac { \pi } { 3 }$ ，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 ${ \frac { \mid { \overline { { B M } } } \mid } { \mid { \overline { { B C } } } \mid } } = { \frac { \mid { \overline { { C N } } } \mid } { \mid { \overline { { C D } } } \mid } }$ ，则 ${ \overrightarrow { A M } } \cdot { \overrightarrow { A N } }$ 的取值范围是

已知函数 y = f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)、 $B ( \frac 1 2 , 5 )$ 、C(1,0),函数 $y = x f ( x ) ( 0 \leq x \leq 1 )$ 的图象与x轴围成的图形的面积为

如图，AD与 BC是四面体ABCD中互相垂直的棱， $B C = 2$ ，若 $A D = 2 c$ 且 $A B + B D = A C + C D = 2 a$ ，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是\_

若 $1 + { \sqrt { 2 } } i$ 是关于x的实系数方程 $x ^ { 2 } + b x + c = 0$ 的一个复数根，则（）

在∆ABC中，若 $\sin ^ { 2 } A + \sin ^ { 2 } B < \sin ^ { 2 } C$ ，则ΔABC的形状是（）

设 $1 0 \leq x _ { 1 } < x _ { 2 } < x _ { 3 } < x _ { 4 } \leq 1 0 ^ { 4 } , x _ { 5 } = 1 0 ^ { 5 }$ ，随机变量 $\xi _ { 1 }$ 取值 $x _ { 1 } \setminus \ x _ { 2 } \setminus \ x _ { 3 } \setminus \ x _ { 4 } \setminus \ x _ { 5 }$ 的概率
均为0.2，随机变量 $\boldsymbol { \xi } _ { 2 }$ 取值 $\frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } \cdot \frac { x _ { 2 } + x _ { 3 } } { 2 } \cdot \frac { x _ { 3 } + x _ { 4 } } { 2 } \cdot \frac { x _ { 4 } + x _ { 5 } } { 2 } \cdot \frac { x _ { 5 } + x _ { 1 } } { 2 }$ 的概率也均为0.2，
若记 $D \xi _ { 1 } , \ D \xi _ { 2 }$ 分别为 $\xi _ { 1 } , \ \xi _ { 2 }$ 的方差，则（）

设 $a _ { n } = { \frac { 1 } { n } } \mathrm { s i n } { \frac { n \pi } { 2 5 } } , S _ { n } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + \cdots + a _ { n }$ ，在 $S _ { 1 } , S _ { 2 } , \cdots , S _ { 1 0 0 }$ 中，正数的个数是（）