2012 新课标卷（旧） · 理 数学

（5分）已知集合 $A=\{1,2,3,4,5\}, B=\{(x, y) \mid x \in A, y \in A, x-y \in A\}$ ，则B中所含元素的个数为

（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ）

（5分）下面是关于复数 $z=\frac{2}{-1+i}$ 的四个命题：其中的真命题为（ ），
$\mathrm{p}_{1}:|\mathrm{z}|=2$,
$\mathrm{p}_{2}: \mathrm{z}^{2}=2 \mathrm{i}$,
$p_{3}$ ：z的共轭复数为 $1+i$ ，
$p_{4}$ ：z的虚部为 -1 。

（5分）设 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆 $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点，$P$ 为直线 $x= \frac{3 a}{2}$ 上一点，$\triangle F_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则 $E$ 的离心率为（ ）

（5分）已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列，$a_{4}+a_{7}=2, a_{5} a_{6}=-8$ ，则 $a_{1}+a_{10}=$（）

（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数 $\mathrm{N}(\mathrm{N} \geq 2)$ 和实数 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \ldots$ ，$a_{n}$ ，输出 $A, B$ ，则（ ）

（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

（5分）等轴双曲线 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，$C$ 与抛物线 $y^{2}=16 x$ 的准线交于点 $A$ 和点 $B,|A B|=4 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的实轴长为（ ）

（5分）已知 $\omega>0$ ，函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上单调递减 ，则实数 $\omega$ 的取值范围是（ ）

（5分）已知函数 $f(x)=\frac{1}{\ln (x+1)-x}$ ，则 $y=f(x)$ 的图象大致为（）

（5分）已知三棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABC}$ 的所有顶点都在球 O 的表面上，$\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 1的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 $\mathrm{SC}=2$ ，则此三棱锥的体积为（）

（5分）设点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{\mathrm{x}}$ 上，点 Q 在曲线 $\mathrm{y}=\ln (2 \mathrm{x})$ 上，则 $|\mathrm{PQ}|$ 最小值为（ ）

（5分）已知向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 夹角为 $45^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}|=1,|2 \vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，则 $|\vec{b}|=\underline{3}$ 근 ．

（5分）设 $x, y$ 满足约束条件：$\left\{\begin{array}{l}x \geqslant 0, y \geqslant 0 \\ x-y \geqslant-1 \\ x+y \leqslant 3\end{array}\right.$ ；则 $z=x-2 y$ 的取值范围为——

（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 $N\left(1000,50^{2}\right)$ ，且各个元件能否正常相互独立 ，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{8}$ ．

（5分）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1){ }^{n} a_{n}=2 n-1$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 60 项和为______。

（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，$AC=BC= AA 1$，D是棱AA1的中点
，DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．

（12分）已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f^{\prime}(1) e^{x-1}-f(0) x+\frac{1}{2} x^{2}$ ；
（1）求 $f$（ $x$ ）的解析式及单调区间；
（2）若 $f(x) \geqslant \frac{1}{2} x^{2}+a x+b$ ，求（a＋1）b的最大值．

（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外
接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

①$CD=BC$；
（2）△BCD∽△GBD．

已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
①当$a=$﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．