2013 北京卷 数学

（5 分）已知集合 $\mathsf { A } = \{ \mathit { \Pi } - 1 , \ 0 , \ 1 \}$ $\mathsf { B } = \{ \mathsf { x } | - 1 { \leqslant } \mathsf { x } { < } 1 \}$ ，则 A∩B=（　　）

（5分）在复平面内，复数（2﹣i）²对应的点位于（　　）

（5分）“φ=π”是“曲线$y=sin$（2x+φ）过坐标原点”的（　　）

（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（　　）

A．1 B $\frac { 2 } { 3 }$ C $\frac { 1 3 } { 2 1 }$ D $\frac { 6 1 0 } { 9 8 7 }$

（5 分）函数 f（x）的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 $\mathsf { y } \mathsf { = e } ^ { \mathsf { x } }$ 关于y 轴对称，则 f（x）=（　　）A $\mathsf { e } ^ { \mathsf { x } + 1 }$ B $\mathsf { e } ^ { \mathsf { x } - 1 }$ C ${ \mathsf { e } } ^ { - \mathsf { x } + 1 }$ D $\mathsf { e } ^ { - \mathsf { X } - 1 }$

（5分）若双曲线 $\frac { \cdot x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ 的离心率为 ${ \sqrt { 3 } } ,$ ，则其渐近线方程为（　　） A $y = \pm 2 x$ B． $\mathtt { y } = \pm \sqrt { 2 } \mathtt { x }$ C $\mathbf { y } = \pm \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x }$ D $\mathbf { y } = \pm { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \mathbf { x }$

（5 分）直线 l 过抛物线 C： $x ^ { 2 } = 4 y$ 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形的面积等于（　　）A $\frac { 4 } { 3 }$ B．2 C $\frac { 8 } { 3 }$ D $\frac { 1 6 { \sqrt { 2 } } } { 3 }$

（5分）在极坐标系中，点（2， $\frac { \pi } { 6 } )$ 到直线ρsinθ=2的距离等于　1

（5 分）若等比数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 $a _ { 2 } + a _ { 4 } = 2 0 , a _ { 3 } + a _ { 5 } = 4 0$ ，则公比 q= 2　；前 n 项和 $S _ { \mathrm { n } } { = } \_ 2 ^ { \mathsf { n } + 1 } - 2$

（5 分）将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少1张，如果分给同一人的 2张参观券连号，那么不同的分法种数是　96

（13 分）在△ABC 中， $a = 3 , b = 2 \sqrt { 6 } , \angle B = 2 \angle A$

（Ⅰ）求cosA 的值；

（Ⅱ）求 c 的值

（13 分）如图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；

（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

（14分）如图，在三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中， $\mathsf { A A } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { C }$ 是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面 $A A _ { 1 } C _ { 1 } C , A B = 3 , B C = 5$

（Ⅰ）求证： $\mathsf { A A } _ { 1 } \perp$ 平面 ABC；

（Ⅱ）求证二面角 $\mathsf { A } _ { 1 } - \mathsf { B C } _ { 1 } - \mathsf { B } _ { 1 }$ 的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ 上存在点D，使得 ${ \mathsf { A D \bot A } } _ { 1 } { \mathsf { B } }$ ，并求 $\frac { \mathtt { B D } } { \mathtt { B C } _ { 1 } }$ 的值

（14分）已知A，B，C是椭圆W： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 4 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 1$ 上的三个点，O是坐标原点

（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；

（Ⅱ）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由．

（13分）已知 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为 $\mathsf { A } _ { \mathsf { n } }$ ，第n项之后各项 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } , \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 2 } . . .$ 的最小值记为 $\mathsf { B } _ { \mathsf { n } } , ~ \mathsf { d } _ { \mathsf { n } } \mathsf { = A } _ { \mathsf { n } } - \mathsf { B } _ { \mathsf { n } }$

（Ⅰ）若 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意$\ u { \boldsymbol { \mathsf { n } } } \in \mathsf { N } ^ { * } , \mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 4 } \mathbf { \overline { { = } } } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \rule { 0 ex } { 5 ex } )$ ），写出 ${ \mathsf d } _ { 1 } , { \mathsf d } _ { 2 } , { \mathsf d } _ { 3 } , { \mathsf d } _ { 4 }$ 的值；

（Ⅱ）设 d是非负整数，证明： ${ \mathsf d } _ { \mathsf n } { = } \mathrm { ~ - ~ } { \mathsf d } \ ( { \mathsf n } { = } 1 , \ 2 , \ 3 . . . \ )$ 的充分必要条件为 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 是公差为d的等差数列；

（Ⅲ）证明：若 $a _ { 1 } = 2 , ~ \mathsf d _ { \mathsf n } = 1 ~ ( \mathsf n = 1 , ~ 2 , ~ 3 , ~ \ldots )$ ），则 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的项只能是 1 或者 2，且有无穷多项为1