2013 新课标 I 卷 数学

（5分）已知集合 $\cdot \mathsf { A } { = } \{ \mathsf { x } | \mathsf { x } ^ { 2 } - 2 \mathsf { x } { > } 0 \}$ $B = \{ x \vert - \sqrt { 5 } < x < \sqrt { 5 } \}$ ，则（ ）

（5分）若复数$z$满足$(3-4\mathrm{i})z=|4+3\mathrm{i}|$，则$z$的虚部为（　　）

（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（　　）

（5分）已知双曲线C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$ ，则C的渐 近线方程为（　　） A $\forall \mathbf { \equiv } \pm \frac { 1 } { 4 } \mathbf { x }$ B． $\forall \mathbf { \bar { \rho } } \equiv \pm \frac { 1 } { 3 } \mathbf { x }$ C $y = \pm x$ D $\forall \mathbf { \bar { \rho } } \Psi \equiv \pm \frac { 1 } { 2 } \mathbf { x }$

（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（　　）

（5分）设等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $\mathsf { S } _ { \mathsf { n } }$ ，若 $\mathsf { S } _ { \mathsf { m } - 1 } \mathsf { = } - 2 , \mathsf { S } _ { \mathsf { m } } \mathsf { = } 0 , \mathsf { S } _ { \mathsf { m } + 1 } \mathsf { = } 3$ ，则 $\mathsf { m } =$ （　　）

（5分）设m为正整数， $( x + y )$ ^2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y ）^2m+¹展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（　　）

（5分）已知椭圆E： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A $\frac { x ^ { 2 } } { 4 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 6 } = 1$ B $\frac { { \bf x } ^ { 2 } } { 3 6 } + \frac { { \bf y } ^ { 2 } } { 2 7 } = 1$ C $\frac { x ^ { 2 } } { 2 7 } + \frac { y ^ { 2 } } { 1 8 } = 1$ D $\frac { x ^ { 2 } } { 1 8 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$

（5分）已知函数f $( \textsf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \mathtt { x } ^ { 2 } + 2 \mathtt { x } , } & { \mathtt { x } \leqslant 0 } \\ { \ln ( \mathtt { x } + 1 ) , } & { \mathtt { x } > 0 } \end{array} \right. ,$ ，若 $| { \textsf { f } } ( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } ) | { \ge } { \mathsf { a x } }$ ，则a的取值范围是（　　）

（5分）已知两个单位向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，$\vec{c}=t\vec{a}+(1-t)\vec{b}$．若 $\vec{b}\cdot\vec{c}=0$ ，则 $t=$____．

（5分）设当 $x = \theta$ 时，函数 $f(x) = \sin x - 2\cos x$ 取得最大值，则 $\cos\theta = $ ______．

（5分）若函数f $( \mathsf { x } ) = ( 1 - \mathsf { x } ^ { 2 } ) ( \mathsf { x } ^ { 2 } + \mathsf { a } \mathsf { x } + \mathsf { b } )$ 的图象关于直线 $x = - 2 x - 1$ 称，则f（x）的最大值为　16

（12分）如图，在 $\triangle \mathsf { A B C }$ 中， $\angle A B C = 9 0 ^ { \circ }$ ${ \mathsf { A B } } { = } { \sqrt { 3 } } ,$ $\mathsf { B C } \mathtt { = } 1$ ，P为 $\Delta A B C$ 内一点$\angle B P C = 9 0 ^ { \circ }$

（1）若 $\mathsf { P B } = \frac { 1 } { 2 }$ ，求PA；

（2）若 $\angle A P B = 1 5 0 ^ { \circ }$ ，求 $\tan \angle P B A$

（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，且各件产品是否为优质品相互独立

（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；

（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望

（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D

（Ⅰ）证明： $D B = D C$

（Ⅱ）设圆的半径为1， $\mathtt { B C } { = } \sqrt { 3 }$ ，延长CE交AB于点F，求 $\triangle B C F$ 外接圆的半径