2016 新课标 I 卷 · 理 数学

（5分）设集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3<0\right\}, B=\{x \mid 2 x-3>0\}$ ，则 $A \cap B=$（）

（5分）设（1＋i）$x=1+y i$ ，其中 $x, y$ 是实数，则 $|x+y i|=$（）

（5分）已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 9 项的和为 $27, a_{10}=8$ ，则 $a_{100}=$（）

（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8： 30 发车，小明在7：50至8： 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）

（5分）已知方程 $\frac{x^{2}}{m^{2}+n}-\frac{y^{2}}{3 m^{2}-n}=1$ 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4 ，则 n 的取值范围是（ ）

（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互

垂直的半径．若该几何体的体积是 $\frac{28 \pi}{3}$ ，则它的表面积是

（5分）函数 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{e}^{|\mathrm{x}|}$ 在 $[-2,2]$ 的图象大致为

（5分）若 $a>b>1, ~ 0<c<1$ ，则（ ）

（5分）执行下面的程序框图，如果输入的 $x=0, y=1, n=1$ ，则输出 $x, y$ 的值满足（ ）

（5分）以抛物线 $C$ 的顶点为圆心的圆交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $D$ 、 $E$ 两点．已知 $|A B|=4 \sqrt{2},|D E|=2 \sqrt{5}$ ，则 $C$ 的焦点到准线的距离为（）

（5分）平面 $\alpha$ 过正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $A, \alpha \|$ 平面 $C B_{1} D_{1}, \alpha \cap$ 平面 $A B$

$C D=m, \alpha \cap$ 平面 $A B B_{1} A_{1}=n$ ，则 $m , n$ 所成角的正弦值为

（5分）已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)\left(\omega>0,|\phi| \leq \frac{\pi}{2}\right), x=-\frac{\pi}{4}$ 为 $f(x$ ）的零点，$x=\frac{\pi}{4}$ 为 $y=f(x)$ 图象的对称轴，且 $f(x)$ 在（ $\frac{\pi}{18}, \frac{5 \pi}{36}$ ）上单调 ，则 $\omega$ 的最大值为

（5分）设向量 $\vec{a}=(m, 1), \vec{b}=(1,2)$ ，且 $|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ ，则 $m=$

（5分）$(2 x+\sqrt{x})^{5}$ 的展开式中，$x^{3}$ 的系数是 $\_\_\_\_$ 10 ．（用数字填写答案）

（5分）设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$ ，则 $a_{1} a_{2} \ldots a_{n}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 64

（ 5 分）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料 1.5 kg ，乙材料 1 kg ，用 5 个工时；生产一件产品B需要甲材料 0.5 kg ，乙材料 0.3 kg ，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品B的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150 kg ，乙材料 90 kg ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为

216000元。

（12分）$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 \cos C(a \cos B+b$

$$ \cos A)=c $$

（I）求C；
（II）若 $\mathrm{c}=\sqrt{7}, \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的周长．

（12分）设圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-15=0$ 的圆心为 $A$ ，直线过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合， I 交圆 A 于 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E ．
（I）证明 $|E A|+|E B|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；
（II）设点 E 的轨迹为曲线 $\mathrm{C}_{1}$ ，直线 $l$ 交 $\mathrm{C}_{1}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点，过 B 且与 I 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P, Q$ 两点，求四边形 $M P N Q$ 面积的取值范围．

（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．

（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠$AOB=120$°．以O为圆心，OA为半
径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．

在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=1+a \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数，$a>0$ ） －在以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $\mathrm{C}_{2}: \rho=4 \cos \theta$
（I）说明 $\mathrm{C}_{1}$ 是哪种曲线，并将 $\mathrm{C}_{1}$ 的方程化为极坐标方程；
（II）直线 $\mathrm{C}_{3}$ 的极坐标方程为 $\theta=\alpha_{0}$ ，其中 $\alpha_{0}$ 满足 $\tan \alpha_{0}=2$ ，若曲线 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 的公共点都在 $\mathrm{C}_{3}$ 上，求 a ．

已知函数 $f(x)=|x+1|-|2 x-3|$ ．
（I）在图中画出 $y=f(x)$ 的图象；

（II）求不等式 $|f(x)|>1$ 的解集。