Angle Between Skew Lines　·　历年高考数学真题与解析

9．已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则

10．在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$P$ 为 $B_{1} D_{1}$ 的中点，则直线 $P B$ 与 $A D_{1}$ 所成的角为

17．（14分）四棱锥 $P-A B C D$ ，底面为正方形 $A B C D$ ，边长为4，$E$ 为 $A B$ 中点，$P E \perp$平面 $A B C D$ 。
（1）若 $\triangle P A B$ 为等边三角形，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若 $C D$ 的中点为 $F, ~ P F$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $45^{\circ}$ ，求 $P C$ 与 $A D$ 所成角的大小．

【思路分析】（1）由 $V=\frac{1}{3} P E \cdot S_{\text {正方形 } A B C D}$ ，代入相应数据，进行运算，即可；
②由 $P E \perp$ 平面 $A B C D$ ，知 $\angle P F E=45^{\circ}$ ，进而有 $P E=F E=4, ~ P B=2 \sqrt{5}$ ，由
$A D / / B C$ ，知 $\angle P C B$ 或其补角即为所求，可证 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，从而有 $B C \perp P B$ ，最后在 Rt $\triangle \mathrm{PBC}$ 中，由 $\tan \angle P C B=\frac{P B}{B C}$ ，得解．

17．已知四棱锥 $P-A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形，边长为 $3, P D \perp$ 平面 $A B C D$ ．
（1）若 $P C=5$ ，求四棱锥 $P-A B C D$ 的体积；
（2）若直线 $A D$ 与 $B P$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，求 $P D$ 的长．

24．在三棱锥 $A$ —
$B C D$ 中，已知 $C B=C D=\sqrt{5}, B D=2, O$ 为 $B D$ 的中点，$A O \perp$ 平面 $B C D, A O=2, E$ 为 $A C$ 的中点．

（1）求直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的余弦值；
（2）若点 $F$ 在 $B C$ 上，满足 $B F=\frac{1}{4} B C$ ，设二面角 $F-D E-C$ 的大小为 $\theta$ ，求 $\sin \theta$ 的值．

17．如图，正三棱锥 $P-A B C$ 中，侧棱长为 2 ，底面边长为 $\sqrt{3}, M , N$ 分别是 $P B$ 和 $B C$的中点。
（1）求异面直线 $M N$ 与 $A C$ 所成角的大小；
（2）求三棱锥 $P-A B C$ 的体积．

8．设三棱锥 $V-A B C$ 的底面是正三角形，侧棱长均相等，$P$ 是棱 $V A$ 上的点（不含端点），记直线 $P B$ 与直线 $A C$ 所成角为 $\alpha$ ，直线 $E$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\beta$ ，二面角 $P-A C-B$ 的平面角为 $\gamma$ ，则（）

9．（5分）在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B=B C=1, A A_{1}=\sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D_{1}$与 $\mathrm{DB}_{1}$ 所成角的余弦值为（ ）

9．（5分）在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $C D$所成角的正切值为（ ）

10．（5分）在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为棱CD的中点，则（）

10．（5分）已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$\angle A B C=120^{\circ}, A B=2, B C=C C_{1}=1$ ，则异面直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

16．（5分）$a, b$ 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 $A B C$ 的直角边 $A C$ 所在直线与 $a, b$ 都垂直，斜边 $A B$ 以直线 $A C$ 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线 AB 与 a 成 $60^{\circ}$ 角时， AB 与 b 成 $30^{\circ}$ 角；
②当直线 AB 与 a 成 $60^{\circ}$ 角时， AB 与 b 成 $60^{\circ}$ 角；
③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 $45^{\circ}$ ；
④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 $60^{\circ}$ ；
其中正确的是 $\_\_\_\_$ ②③ ．（填写所有正确结论的编号）

17．（13分）如图，在四棱锥 $P-A B C D$ 中，$A D \perp$ 平面 $P D C, A D / / B C, P D \perp P B$ ， $A D=1, \quad B C=3, \quad C D=4, \quad P D=2$ ．
（I）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；
（II）求证：$P D \perp$ 平面 $P B C$ ；
（III）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值．

25．如图，在平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1} \perp$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B=A D=2$ ， $\mathrm{AA}_{1}=\sqrt{3}, \quad \angle \mathrm{BAD}=120^{\circ}$.

（1）求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $B-A_{1} D-A$ 的正弦值．

11．（5分）平面 $\alpha$ 过正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $A, \alpha \|$ 平面 $C B_{1} D_{1}, \alpha \cap$ 平面 $A B$

$C D=m, \alpha \cap$ 平面 $A B B_{1} A_{1}=n$ ，则 $m , n$ 所成角的正弦值为

11．（5分）平面 $\alpha$ 过正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $A, \alpha \|$ 平面 $C B_{1} D_{1}, \alpha \cap$ 平面 $A B \mathrm{CD}=\mathrm{m}$ ，$\alpha \cap$ 平面 $\mathrm{ABB}_{1} \mathrm{~A}_{1}=\mathrm{n}$ ，则 $\mathrm{m} , \mathrm{n}$ 所成角的正弦值为（）

14．（4分）（2016•浙江）如图，已知平面四边形 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3, \mathrm{CD}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{5}$ ， $\angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$ ，沿直线 AC 将 $\triangle \mathrm{ACD}$ 翻折成 $\triangle \mathrm{ACD}^{\prime}$ ，直线 $\mathrm{AC}^{\prime}$ 与 $\mathrm{BD}^{\prime}$ 所成角的余弦的最大值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ．

19．（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第一小题满分 6 分，第二小题满分 6 分．
将边长为 1 的正方形 $A A_{1} O_{1} O$（及其内部）绕的 $O O_{1}$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\overparen{A C}$ 长为 $\frac{2}{3} \pi, \widehat{A_{1} B_{1}}$ 长为 $\frac{\pi}{3}$ ，其中 $B_{1}$ 与 $C$ 在平面 $A A_{1} O_{1} O$ 的同侧．
（1）求三棱锥 $C-O_{1} A_{1} B_{1}$ 的体积；
（2）求异面直线 $B_{1} C$ 与 $A A_{1}$ 所成的角的大小．

19．（本题满分 12 分）如图，圆锥的顶点为 $P$ ，底面的一条直径为 $A B, C$ 为半圆弧 $A B$

的中点，$E$ 为劣弧 $C B$ 的中点．已知 $P O=2, O A=1$ ，求三棱锥 $P-A O C$ 的体积，并求异面直线 $P A$ 与 $O E$ 所成角的大小．

11．（5分）已知二面角 $\alpha-I-\beta$ 为 $60^{\circ}, A B \subset \alpha, A B \perp I, A$ 为垂足，$C D \subset \beta, C \in I$ ， $\angle A C D=135^{\circ}$ ，则异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为（）

11．（5分）直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$\angle B C A=90^{\circ}, M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=\mathrm{CC}_{1}$ ，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）

17．（本小题满分 12 分）
如图 2．在直棱柱 $\mathrm{ABC}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 中，$\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\sqrt{2}, \mathrm{AA}_{1}=3, \mathrm{D}$ 是 BC 的中点，点 E 在菱 $\mathrm{BB}_{1}$ 上运动。
（I）证明： $\mathrm{AD} \perp \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$；
（II）当异面直线 $\mathrm{AC}, \mathrm{C}_{1} \mathrm{E}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ 时，求三棱锥 $\mathrm{C}_{1}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{E}$ 的体积

16．（5分）已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ ，$F$ 分别为 $B_{1}, C C_{1}$ 的中点，那么异面直线 $A E$ 与 $D_{1} F$ 所成角的余弦值为 $\_\_\_\_$ $\frac{3}{5}$ ．

15．（5分）已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$E$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线 $A E$ 与 $B$ C所成的角的余弦值为 $-\frac{2}{3}$ —。

10．过正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 A 作直线 L ，使 L 与棱 $A B, A D, A A_{1}$所成的角都相等，这样的直线 L 可以作

（21）（本小题满分 14 分）
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(\mathrm{a}>\mathrm{b}>0)$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ ，已知点 A 的坐标为 $(-\mathrm{a}, 0)$ ．
（i）若 $|\mathrm{AB}|=\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角；
（ii）若点 $\mathrm{Q}\left(0, \mathrm{y}_{0}\right)$ 在线段 AB 的垂直平分线上，且 $\overrightarrow{\mathrm{QA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QB}}=4$ ．求 $\mathrm{y}_{0}$ 的值．

6．（5分）直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=A A_{1}$ ，则异面直线 $B A { }_{1}$ 与 $\mathrm{AC}_{1}$ 所成的角等于（ ）

（15）如图，已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长都相等， M

是侧棱 $C C_{1}$ 的中点，侧异面直线 $A B_{1}$ 和 BM 所成的角的大小是 $\_\_\_\_$ ．

5．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，$E$ 为 $A A_{1}$ 中点，则异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角的余弦值为（ ）

5．（5分）已知正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A A_{1}=2 A B$ ，$E$ 为 $A A_{1}$ 中点，则异面直线 BE 与 $\mathrm{CD}_{1}$ 所形成角的余弦值为（ ）

7．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 $\mathrm{CC}_{1}$ 所成的角的余弦值为（）

（8）如图，正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱线长为1，线段 $B_{1} D_{1}$ 上有两个动点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ ，且 $E F=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则下列结论中错误的是

9．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 $\mathrm{CC}_{1}$ 所成的角的余弦值为（）

10．（5分）已知正四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 的侧棱长与底面边长都相等， E 是 SB 的中点 ，则 AE 、 SD 所成的角的余弦值为（ ）

12．（5 分）（2008•四川）在正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， E 是棱 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 的中点，则 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 与 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{E}$ 所成角的余弦值为（）

16．（5分）等边三角形 $A B C$ 与正方形 $A B D E$ 有一公共边 $A B$ ，二面角 $C-A B-D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}, M, N$ 分别是 $A C, B C$ 的中点，则 $E M, A N$ 所成角的余弦值等于 $\frac{1}{6}$ ．