2014 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2 \leq 0\right\}$ ，集合 $B$ 为整数集，则 $A \cap B=$

2．在 $x(1+x)^{6}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为

3．为了得到函数 $y=\sin (2 x+1)$ 的图象，只需把函数 $y=\sin 2 x$ 的图象上所有的点

4．若 $a>b>0, c<d<0$ ，则一定有

5．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的 $x, y \in R$ ，则输出的 $S$ 的最大值为（）

6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有

7．平面向量 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(4,2), \vec{c}=m \vec{a}+\vec{b}(m \in R)$ ，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，则 $m=$（）

8．如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为线段 $B D$ 的中点．设点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $\alpha$ ，则 $\sin \alpha$ 的取值范围是（）

9．已知 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x), x \in(-1,1)$．现有下列命题： ①$f(-x)=-f(x)$；②$f\left(\frac{2 x}{x^{2}+1}\right)=2 f(x)$；③$|f(x)| \geq 2|x|$。其中的所有正确命题的序号是

10．已知 $F$ 是抛物线 $y^{2}=x$ 的焦点，点 $A, B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle A B O$ 与 $\triangle A F O$ 面积之和的最小值是（

11．复数 $\frac{2-2 i}{1+i}=$ $\_\_\_\_$ ．

12．设 $f(x)$ 是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 $x \in[-1,1)$ 时，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-4 x^{2}+2, & -1 \leq x<0, \\ x, & 0 \leq x<1,\end{array}\right.$ ，则 $f\left(\frac{3}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

13．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的俯角分别为 $67^{\circ}, 30^{\circ}$ ，此时气球的高是 $46 m$ ，则河流的宽度 BC 约等于 $\_\_\_\_$ $m$ ．（用四舍五入法将结果精确到．个位．参考数据： $\sin 67^{\circ} \approx 0.92$ ， $\cos 67^{\circ} \approx 0.39, \quad \sin 37^{\circ} \approx 0.60, \quad \cos 37^{\circ} \approx 0.80, \sqrt{3} \approx 1.73$ ） 

14．设 $m \in R$ ，过定点 A 的动直线 $x+m y=0$ 和过定点 B 的动直线 $m x-y-m+3=0$ 交于点 $P(x, y)$ ，则 $|P A| \cdot|P B|$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ ．

15．以 $A$ 表示值域为 R 的函数组成的集合，$B$ 表示具有如下性质的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：对于函数 $\varphi(x)$，存在一个正数 $M$，使得函数 $\varphi(x)$ 的值域包含于区间 $[-M, M]$。例如，当 $\varphi_{1}(x)=x^{3}, \varphi_{2}(x)=\sin x$时，$\varphi_{1}(x) \in A, \varphi_{2}(x) \in B$。现有如下命题： ①设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，则＂$f(x) \in A$＂的充要条件是＂$\forall b \in R, \exists a \in D, f(a)=b$＂； ②函数 $f(x) \in B$ 的充要条件是 $f(x)$ 有最大值和最小值； ③若函数 $f(x), g(x)$ 的定义域相同，且 $f(x) \in A, g(x) \in B$，则 $f(x)+g(x) \notin B$； ④若函数 $f(x)=a \ln (x+2)+\frac{x}{x^{2}+1}(x>-2, a \in R)$ 有最大值，则 $f(x) \in B$．其中的真命题有 $\_\_\_\_$．（写出所有真命题的序号）

16．已知函数 $f(x)=\sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right)$ ． （1）求 $f(x)$ 的单调递增区间； （2）若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right)=\frac{4}{5} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right) \cos 2 \alpha$ ，求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值．

17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 -200 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 $\frac{1}{2}$，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为 $X$，求 $X$ 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少。的原因。

18．三棱锥 $A-B C D$ 及其侧视图、俯视图如图所示．设 $M, N$ 分别为线段 $A D, A B$ 的中点，$P$ 为线段 $B C$上的点，且 $M N \perp N P$ ． （1）证明：$P$ 为线段 $B C$ 的中点； （2）求二面角 $A-N P-M$ 的余弦值．   侧视图  俯视图

19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$． （1）若 $a_{1}=-2$，点 $\left(a_{8}, 4 b_{7}\right)$ 在函数 $f(x)$ 的图象上，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$； （2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 的 前 $n$ 项和 $T_{n}$．

20．已知椭圆 $\mathrm{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的焦距为 4 ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。 （1）求椭圆 C 的标准方程； ②设 F 为椭圆 C 的左焦点， T 为直线 $x=-3$ 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ ． （i）证明： OT 平分线段 PQ （其中 O 为坐标原点）； （ii）当 $\frac{|T F|}{|P Q|}$ 最小时，求点 T 的坐标．

21．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x^{2}-b x-1$，其中 $a, b \in R, e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数． （I）设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值； （II）若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，求 $a$ 的取值范围