2016 地方卷 数学

（5分）（2016•山东）若复数z满足 $2 z + \overline { { z } } = 3 - 2 \mathrm { i }$ ，其中 i 为虚数单位，则 z=（　　）

（5分）（2016•山东）设集合 $\scriptstyle \mathrm { A = \{ y | y = 2 ^ { x } , ~ x \in R \} }$ $\mathrm { B } { = } \{ \mathrm { x } | \mathrm { x } ^ { 2 } - 1 { < } 0 \}$ ，则A∪B=（　　）A．（﹣1，1） B．（0，1） C $\mathrm { ~ ( ~ - ~ 1 ~ , ~ \ + \infty ~ ) ~ }$ D $( 0 , \ + \infty )$

（5分）（2016•山东）若变量 $x$，$y$ 满足 $\begin{cases}x+y\leqslant 2\\2x-3y\leqslant 9\\x\geqslant 0\end{cases}$，则 $x^2+y^2$ 的最大值是（　　）

（5分）（2016•山东）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内．则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的（　　）

（5分）（2016•山东）函数 $f(x)=(\sqrt{3}\sin x+\cos x)(\sqrt{3}\cos x-\sin x)$ 的最小正周期是（　　）

（5分）（2016•山东）已知非零向量 $\vec{m}$，$\vec{n}$ 满足 $4|\vec{m}|=3|\vec{n}|$，$\cos\langle\vec{m},\vec{n}\rangle=\dfrac{1}{3}$．若 $\vec{n}\perp(t\vec{m}+\vec{n})$，则实数 t 的值为（　　）

（5分）（2016•山东）已知函数 f（x）的定义域为 R．当 x＜0 时，f（x）=x³－1；当 －1≤x≤1 时，f（－x）=－f（x）；当 x＞$\dfrac{1}{2}$ 时，f（x+$\dfrac{1}{2}$）=f（x－$\dfrac{1}{2}$）．则 f（6）=（　　）

（5分）（2016•山东）若函数 $y=f$（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y=f$（x）具有 T 性质．下列函数中具有 T 性质的是（　　）

（5分）（2016•山东）已知双曲线 E：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>0$，$b>0$），若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 $2|AB|=3|BC|$，则 E 的离心率是__________．

（5分）（2016•山东）在 $[-1, 1]$ 上随机地取一个数 k，则事件“直线 $y=kx$ 与圆 $(x-5)^2+y^2=9$ 相交”发生的概率为__________．

（12分）（2016•山东）在 $\triangle ABC$ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 $2(\tan A+\tan B)=\frac{\tan A+\tan B}{\cos B\cos A}$．
（Ⅰ）证明：$a+b=2c$；
（Ⅱ）求 $\cos C$ 的最小值．

（12分）（2016•山东）已知数列 $\{a_n\}$ 的前 n 项和 $S_n=3n^2+8n$，$\{b_n\}$ 是等差数列，且 $a_n=b_n+b_{n+1}$．
（Ⅰ）求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $c_n=\frac{(a_n+1)^{n+1}}{(b_n+2)^n}$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 n 项和 $T_n$．

（12分）（2016•山东）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（Ⅰ）“星队”至少猜对 3 个成语的概率；
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX．