2022 浙江卷 数学

已知 $a , b \in \mathbf { R } , a + 3 \mathrm { i } = ( b + \mathrm { i } ) \mathrm { i }$ （i为虚数单位），则（ ）

若实数x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { x - 2 \geq 0 , } \\ { 2 x + y - 7 \leq 0 } \\ { x - y - 2 \leq 0 , } \end{array} \right.$ , 则 $z = 3 x + 4 y$ 的最大值是（ ）

设 $x \in \mathbf { R }$ ，则 ${ } ^ { 6 6 } \sin x = 1 { \mathrm { : } }$ ”是 ${ } ^ { * } \cos x = 0 { } ^ { : }$ ”的（ ）

某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： $\mathrm { c m } ^ { 3 } \ )$ 是（ ）

俯视图

为了得到函数 $y = 2 \sin 3 x$ 的图象，只要把函数 $y = 2 \sin ( 3 x + { \frac { \pi } { 5 } } )$ 图象上所有的点（ ）A. 向左平移 $\frac { \pi } { 5 }$ 个单位长度 B. 向右平移 $\frac { \pi } { 5 }$ 个单位长度C. 向左平移 $\frac { \pi } { 1 5 }$ 个单位长度 D. 向右平移 $\frac { \pi } { 1 5 }$ 个单位长度

已知 $2 ^ { a } = 5 , \log _ { 8 } 3 = b$ ，则 $4 ^ { a - 3 b } = ( \begin{array} { l l l } { \begin{array} { r l } \end{array} } & { \begin{array} { r l } \end{array} } \end{array} )$

如图，已知正三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } , A C = A A _ { 1 }$ ，E，F分别是棱 $B C , A _ { 1 } C _ { 1 }$ 上的点．记EF与 $A A _ { 1 }$ 所成的角为a，EF与平面ABC所成的角为 $\beta$ ，二面角 $F - B C - A$ 的平面角为g ，则（ ）

已知数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 满足 $a _ { 1 } = 1 , a _ { n + 1 } = a _ { n } - { \frac { 1 } { 3 } } a _ { n } ^ { 2 } \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right)$ ，则（ ）

我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 $S = { \sqrt { { \frac { 1 } { 4 } } { \left[ c ^ { 2 } a ^ { 2 } - \left( { \frac { c ^ { 2 } + a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] } } }$ ，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 $a = { \sqrt { 2 } } , b = { \sqrt { 3 } } , c = 2$ ，则该三角形的面积S =【答案】 $\frac { \sqrt { 2 3 } } { 4 }$

已知多项式 $( x + 2 ) ( x - 1 ) ^ { 4 } = a _ { 0 } + a _ { 1 } x + a _ { 2 } x ^ { 2 } + a _ { 3 } x ^ { 3 } + a _ { 4 } x ^ { 4 } + a _ { 5 } x ^ { 5 }$ ，则 $a _ { 2 } =$ $a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } + a _ { 5 } =$ 【答案】 ①. 8 ②. -2 解柜

若 $3 \sin \alpha - \sin \beta = { \sqrt { 1 0 } } , \alpha + \beta = { \frac { \pi } { 2 } }$ ，则 $\sin \alpha =$ $\cos 2 \beta =$ 【答案】 ①. $\frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 }$ ②. $\frac { 4 } { 5 }$

已知函数 $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - x ^ { 2 } + 2 , \ x \leq 1 , } \\ { \displaystyle x + \frac { 1 } { x } - 1 , \ x > 1 , } \end{array} \right.$ 则 $f { \Bigg ( } f { \Bigg ( } { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } { \Bigg ) } =$ \_；若当 $x \in [ a , b ]$ 时， $1 \leq f ( x ) \leq 3$ ，则$b - a$ 的最大值是【答案】 ①. $\frac { 3 7 } { 2 8 }$ ②. $3 + { \sqrt { 3 } } \# \# { \sqrt { 3 } } + 3$

现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$ ，则 $P ( \xi = 2 ) =$ $E ( \xi ) =$ 【答案】 ①. $\frac { 1 6 } { 3 5 }$ ②. $\frac { 1 2 } { 7 } \# \# 1 \frac { 5 } { 7 }$

已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左焦点为F，过F且斜率为 $\frac { b } { 4 a }$ 的直线交双曲线于点 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right)$ 交双曲线的渐近线于点 $B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ 且 $x _ { 1 } < 0 < x _ { 2 }$ ．若 $\mid F B \mid = 3 \mid F A \mid$ ，则双曲线的离心率是【答案】 $\frac { 3 { \sqrt { 6 } } } { 4 }$

在 $\triangle A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $4 a = { \sqrt { 5 } } c , \cos C = { \frac { 3 } { 5 } }$

（1）求sin A 的值；

（2）若b =11，求 $\triangle A B C$ 的面积

已知等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的首项 $a _ { \scriptscriptstyle 1 } = - 1$ ，公差 $d > 1$ ．记 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 n 项和为 $S _ { n } \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right)$

（1）若 $S _ { 4 } - 2 a _ { 2 } a _ { 3 } + 6 = 0$ ，求 $S _ { n }$ ；

（2）若对于每个 $\ b { n } \in \mathbf { N } ^ { * }$ ，存在实数 $c _ { n }$ ，使 $a _ { n } + c _ { n } , a _ { n + 1 } + 4 c _ { n } , a _ { n + 2 } + 1 5 c _ { n }$ 成等比数列，求d 取值范围的