2009 地方卷 数学

已知函数 $f(x)=\begin{cases} a+\log_2 x & (\text{当 }x\ge 2\text{ 时})\\ \dfrac{x^2-4}{x-2} & (\text{当 }x<2\text{ 时}) \end{cases}$ 在点 $x=2$ 处连续，则常数 $a$ 的值是

复数 $\frac { ( 1 + 2 i ) ^ { 2 } } { 3 - 4 i }$ 的值是

已知函数 $f(x)=\sin\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)(x\in R)$，下面结论错误的是

如图，已知六棱锥 $P - A B C D E F$ 的底面是正六边形， $P A \perp$ 平面ABC, $P A = 2 A B$ ，则下
列结论正确的是

已知 $a,b,c,d$ 为实数，且 $c > d$。则 “$a > b$” 是 “$a - c > b - d$” 的

已知双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = 1 ( b > 0 )$ 的左右焦点分别为 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ ，其一条渐近线方程为 $y = x$ ，点
$P ( \sqrt { 3 } , y _ { 0 } )$ 在该双曲线上，则 ${ \overrightarrow { P F _ { 1 } } } \bullet { \overrightarrow { P F _ { 2 } } } =$

已知直线 $l_1: 4x - 3y + 6 = 0$ 和直线 $l_2: x = -1$，抛物线 $y^2 = 4x$ 上一动点 $P$ 到直线 $l_1$ 和直线 $l_2$ 的距离之和的最小值是

某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

$( 2 x - \frac { 1 } { 2 x } ) ^ { 6 }$ 的展开式的常数项是 (用数字作答)

若 $O _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 5$ 与 $\odot O _ { 2 } : ( x - m ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 0 ( m \in R )$ 相交于A、B两点，且两圆在 点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是

如图，已知正三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的各条棱长都相等，M是侧棱 $C C _ { 1 }$ 的中点，则异面直线 $A B _ { 1 }$ 和BM所成的角的大小是

21. （本小题满分12分）

已知 $a > 0$ 且 $\boldsymbol a \neq 1$ 函数 $f ( x ) = \log _ { a } ( 1 - a ^ { x } )$

(I）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；

（II）若 $n \in N ^ { * }$ ,求 $\operatorname* { l i m } _ { n \to + \infty } { \frac { a ^ { f ( n ) } } { a ^ { n } + a } }$ •0

（III）当 $a = e \mathrm { ~ \ } ( \mathrm { \ } e \mathrm { \ }$ 为自然对数的底数）时，设 $h ( x ) = ( 1 - e ^ { f ( x ) } ) ( x ^ { 2 } - m + 1 )$ ，若函数h(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值。

22. （本小题满分14分）

设数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n }$ ，对任意的正整数n，都有 $a _ { n } = 5 S _ { n } + 1$ 成立，记$b _ { n } = { \frac { 4 + a _ { n } } { 1 - a _ { n } } } ( n \in N ^ { * } )$ o

（I）求数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的通项公式；

（II）记 $c _ { n } = b _ { 2 n } - b _ { 2 n - 1 } ( n \in N ^ { * } )$ ，设数列 $\left\{ c _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $T _ { n }$ ，求证：对任意正整数n都有 $T _ { n } < { \frac { 3 } { 2 } }$

（III）设数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $R _ { n }$ 。已知正实数λ满足：对任意正整数 $n , R _ { n } \leq \lambda n$ 恒成立，求λ的最小值。

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）