2009 天津卷 数学

i是虚数单位， $\frac { 5 i } { 2 - i } =$

设变量 $\cdot \mathsf { x } , \mathsf { y }$ 满足约束条件 $\left\{ { \begin{array} { l } { x + y \geq 3 } \\ { x - y \geq - 1 } \\ { 2 x - y \leq 3 } \end{array} } \right.$ ，则目标函数 $z = 2 x + 3 y$ 的最小值为

设 $x \in R _ { : }$ 则 $" x = 1 "$ 是 $" x ^ { 3 } = x "$ 的

设双曲线 ${ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } - { \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } } = \left( a > b > 0 \right)$ 的虚轴长为2，焦距为 $2 \sqrt { 3 }$ ，则双曲线的渐近线方程为

设 $a = \log _ { \frac { 1 } { 3 } } 2 , b = \log _ { \frac { 1 } { 2 } } \frac { 1 } { 3 } , c = \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 0 . 3 }$ ，则

已知函数 $f(x) = \sin\left(\omega x + \frac{\pi}{4}\right) (x \in R, \omega > 0)$ 的最小正周期为 $\pi$，将 $y = f(x)$ 的图像向左平移 $|\varphi|$ 个单位长度，所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $\varphi$ 的一个值是

设函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 6, & x \ge 0 \\ x + 6, & x < 0 \end{cases}$，则不等式 $f(x) > f(1)$ 的解集是

设 $x, y \in R, a > 1, b > 1$，若 $a^x = b^y = 3, a + b = 2\sqrt{3}$，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最大值为

设函数 f(x) 在 R 上的导函数为 $f ^ { \prime } ( x )$ ，且 $2 f ( x ) + x f ^ { \prime } ( x ) > x ^ { 2 }$ ，下面的不等式在R上恒成立的是

如图， $A A _ { 1 }$ 与 $B B _ { 1 }$ 相交于点O， $A B / / A _ { 1 } B _ { 1 }$ 且 $A B = \frac { 1 } { 2 } A _ { 1 } B _ { 1 }$ ，若 $\Delta A O B$ 的外接圆的直径为
1，则 $\Delta A _ { 1 } O B _ { 1 }$ 的外接圆的直径为

如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 $3 \sqrt { 3 }$ ，则a=

侧视图
俯视图

设全集 $U = A \bigcup B = \left\{ x \in N ^ { * } { \Big | } \lg x < 1 \right\}$ ，若 $A \cap ( C _ { u } B ) = \left\{ m { \big | } m = 2 n + 1 , n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$ 则集合B=

若等边∆ABC的边长为 $2 \sqrt { 3 }$ ，平面内一点M满足 $\overrightarrow { C M } = \frac { 1 } { 6 } \overrightarrow { C B } + \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { C A }$ ，则 ${ \overrightarrow { M A } } \bullet { \overrightarrow { M B } } = _ { - }$

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD， $A D \perp C D$ ，DB平分 $\angle A D C$ ，E为的 PC 中点， $A D = C D = 1 , D B = 2 { \sqrt { 2 } }$ D

（1）证明：PA//平面BDE

（2）证明：AC⊥平面PBD

(3) 求直线 $B C $ 平面PBD所成角的正切值

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差不为0. 设 $S_n = a_1 + a_2 q + \cdots + a_n q^{n-1}$，
$T_n = a_1 - a_2 q + \cdots + (-1)^{n-1} a_n q^{n-1}$
（1）若 $q=1, a_1=1, S_3=15$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式
（2）若 $a_1=d$，且 $S_1,S_2,S_3$ 成等比数列，求 $q$ 的值
（3）若 $q \ne \pm 1$，证明 $(1-q)S_{2n} - (1-q)T_{2n} = \dfrac{2dq(1-q^{2n})}{1-q^2}$