2009 北京卷 数学

设集合 $A = \{ x | - { \frac { 1 } { 2 } } < x < 2 \} , B = \{ x { \Big | } x ^ { 2 } \leq 1 \}$ ，则 $A \cup B =$ （ ） A $\{ x | - 1 \leq x < 2 \}$ B． $\{ x \mid - { \frac { 1 } { 2 } } < x \leq 1 \}$ C $\{ x \mid x < 2 \}$ D $\{ x | 1 \leq x < 2 \}$

已知向量 $a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k\in R),d=a-b$，如果 $c\parallel d$，那么

若 $( 1 + { \sqrt { 2 } } ) ^ { 4 } = a + b { \sqrt { 2 } } ( a , b$ 为有理数），则 $a + b =$ （ ）

用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为

“$\alpha=\frac{\pi}{6}$”是“$\cos 2\alpha=\frac{1}{2}$”的

若正四棱柱 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 的底面边长为1， $A B _ { 1 }$ 与底面ABCD成 ${ { \bf 6 0 } ^ { \circ } }$ 角，则 $A _ { 1 } C _ { 1 }$ 到 底面 $\mathbf { A B C D }$ 的距离为 ( ) A $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ B． 1 C $\sqrt { 2 }$ D $\sqrt { 3 }$

设D是正 $\Delta P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 }$ 及其内部的点构成的集合，点 $P _ { 0 }$ 是 $\Delta P _ { 1 } P _ { 2 } P _ { 3 }$ 的中心，若集合$S = \{ P | P \in D , | P P _ { 0 }$ | | £ $P P _ { i } \left| , i = 1 , 2 , 3 \right\}$ ，则集合S表示的平面区域是 ( )

若 $\sin \theta = - \frac { 4 } { 5 } , \tan \theta > 0$ ，则 $\cos \theta =$

已知函数 $f(x)=\begin{cases} 3^x, & x\leq 1, \\ -x, & x>1, \end{cases}$ 若 $f(x)=2$，则 $x=$ ．

设A是整数集的一个非空子集，对于 $k \in { \cal A }$ ，如果 $k - 1 \not \in A$ 且 $k + 1 \not \in A$ ，那么称 $k$ 是A的一个“孤立元”，给定 $S = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , \}$ ，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.

已知函数 $f(x) = 2\sin(\pi - x)\cos x$．
（Ⅰ）求 $f(x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求 $f(x)$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值和最小值．

（本小题共13分）

某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 $\frac 1 3$ ，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率

（本小题共14分）

已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的离心率为 $\sqrt { 3 }$ ，右准线方程为 $x = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 5$ 上，求m的值