2009 上海卷 · 文 数学

函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+1$ 的反函数 $\mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})=$ $\_\_\_\_$ ．

已知集合$A=\{x|x\leq1\},B=\{x\mid x\geq a\}$,且$A\cup B=\mathbb{R}$，
则实数$a$的取值范围是_______________．

4．某算法的程序框如右图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

5．如图，若正四棱柱ABCD－
$\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的底面边长为 2 ，高为 4 ，则异面直线 $\mathrm{BD}_{1}$ 与 AD 所成角的大小是 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ （结果用反三角函数值表示）．

5．如图，若正四棱柱ABCD－
$\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 的底面边长为 2 ，高为 4 ，则异面直线 $\mathrm{BD}_{1}$ 与 AD 所成角的大小是 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ （结果用反三角函数值表示）．

7．已知实数 $\mathrm{x} , \mathrm{y}$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}y \leq 2 x \\ y \geq-2 x \\ x \leq 3\end{array}\right.$则目标函数 $\mathrm{z}=\mathrm{x}-$ 2 y 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

7．已知实数 $\mathrm{x} , \mathrm{y}$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}y \leq 2 x \\ y \geq-2 x \\ x \leq 3\end{array} \quad\right.$ 则目标函数 $\mathrm{z}=\mathrm{x}-$ 2 y 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

8．若等腰直角三角形的直角边长为 2 ，则以一直角边所在的直线为轴
旋转一周所成的几何体体积是 $\_\_\_\_$。

8．若等腰直角三角形的直角边长为 2 ，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 $\_\_\_\_$。

9．过点 $\mathrm{A}(1,0)$ 作倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线，与抛物线 $y^{2}=2 x$ 交于 $M , N$ 两点，则 $|M N|=$ $\_\_\_\_$。

9．过点 $\mathrm{A}(1,0)$ 作倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线，与抛物线 $y^{2}=2 x$ 交于 $M , N$ 两点，则 $|M N|=$ $\_\_\_\_$。

10．函数 $f(x)=2 \cos ^{2} x+\sin 2 x$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

10．函数 $f(x)=2 \cos ^{2} x+\sin 2 x$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

11．若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 $\_\_\_\_$ （结果用最简分数表示）。

11．若某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于 1 名的概率是 $\_\_\_\_$ （结果用最简分数表示）。

12．已知 $F_{1} , \mathrm{~F}_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$p$ 为椭圆 $C$ 上的一点，且 $\overline{P F_{1}} \perp \overline{P F_{2}}$ 。若 $\Delta P F_{1} F_{2}$ 的面积为 9 ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

12．已知 $F_{1} , \mathrm{~F}_{2}$ 是椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的两个焦点，$p$ 为椭圆 $C$ 上的一点，且 $\overline{P F_{1}} \perp \overline{P F_{2}}$ 。若 $\Delta P F_{1} F_{2}$ 的面积为 9 ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ．

13．已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x$ 。项数为 27 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且公差 $d \neq 0$ ，若 $f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\ldots+f\left(a_{27}\right)=0$ ，则当 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$时，$f\left(a_{k}\right)=0$ 。

13．已知函数 $f(x)=\sin x+\tan x$ 。项数为 27 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n} \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且公差 $d \neq 0$ ，若 $f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\ldots+f\left(a_{27}\right)=0$ ，则当 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$时，$f\left(a_{k}\right)=0$ 。

14．某地街道呈现东——西、南——

北向的网络状，相邻街距都为 1 ，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 $(-2,2)$ ，（3，1），（3，4），（－ $2,3) ~(4,5) ~$ 为报刊零售店，请确定一个格点 $\_\_\_\_$
为发行站，使 5 个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。

二。、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分。

14．某地街道呈现东——西、南——

北向的网络状，相邻街距都为 1 ，两街道相交的点称为格点。若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 $(-2,2)$ ，（3，1），（3，4），（－ $2,3) ~(4,5) ~$ 为报刊零售店，请确定一个格点 $\_\_\_\_$
为发行站，使 5 个零售点沿街道发行站之间路程的和最短。

19．（本题满分 14 分）
已知复数 $z=a+b i \quad\left(\mathrm{a} , \mathrm{~b} \in R^{+}\right)$（I是虚数单位）是方程 $x^{2}-4 x+5=0$ 的根 ．复数 $w=u+3 i \quad(u \in R)$ 满足 $|w-z|<2 \sqrt{5}$ ，求 u 的取值范围．