2009 地方卷 · 理 数学

从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 】
A． 85
B． 56
C ． 49
D ． 28

5．（ 09 湖南理）从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【C 】
A． 85
B． 56
C ． 49
D ． 28

某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，
则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _.

在 $(1+x)^3+(1+\sqrt{x})^3+(1+\sqrt[3]{x})^3$ 的展开式中，$x$ 的系数为___（用数字作答）.

若 $x\in(0,\dfrac{\pi}{2})$，则 $2\tan x+\tan(\dfrac{\pi}{2}-x)$ 的最小值为 _________.

一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本. 已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 $\dfrac{1}{28}$，则总体中的个体数为___.

在半径为13的球面上有A , B, C 三点，$AB=6$，$BC=8$，$CA=10$，则
（1）球心到平面ABC的距离为 ；
（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 .

（本小题满分12分）
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 $\dfrac{1}{2}$，$\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{1}{6}$. 现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。
（Ⅰ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（Ⅱ）记 $\xi$ 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 $\xi$ 的分布列及数学期望。

（本小题满分 12 分）
如图4，在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=\sqrt{2} A A_{1}$ ，点D是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点E在 $A_{1} C_{1}$ 上，且 $D E \perp A E$
（I）证明：平面 $A D E \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；
（II）求直线 $A D$ 和平面 $A B C$ 所成角的正弦值。

18．（09湖南理）（本小题满分 12 分）
如图4，在正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A B=\sqrt{2} A A_{1}$ ，
点D是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点E在 $A_{1} C_{1}$ 上，且 $D E \perp A E$ ．
（I）证明：平面 $A D E \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；
（II）求直线 $A D$ 和平面 $A B C$ 所成角的正弦值。

（本小题满分 13 分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 $m$ 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 $x$ 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 $(2+\sqrt{x}) x$ 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素。记余下工程的费用为 $y$ 万元。

（I）试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；
（II）当 $m=640$ 米时，需新建多少个桥墩才能使 $y$ 最小？

19．（09湖南理）（本小题满分 13 分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 $m$ 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩。经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 $x$ 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 $(2+\sqrt{x}) x$ 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为 $y$ 万元。
（I）试写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；
（II）当 $m=640$ 米时，需新建多少个桥墩才能使 $y$ 最小？