2010 全国 II 卷（旧） 数学

（5分）复数 $( \frac { 3 - i } { 1 + i } ) ^ { 2 } =$ （　　）

（5分）如果等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 中， $\mathtt { a } _ { 3 } + \mathtt { a } _ { 4 } + \mathtt { a } _ { 5 } = 1 2$ ，那么 $\partial _ { 1 } { ^ + } \partial _ { 2 } { ^ + } . . . ^ { + } \partial _ { 7 } { ^ = \begin{array} { l l l } { ( } & { } & { ) } \end{array} }$

（5分）不等式 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } - \mathbf { x } - 6 } { \mathbf { x } - 1 } > 0$ 的解集为（　　）A $\{ { \pmb x } | { \pmb x } < - 2$ ，或 $\times > 3 \}$ B $\{ { \pmb x } | { \pmb x } < - 2$ ，或1 $< x < 3 \}$ C． $\{ { \pmb x } \vert - 2 < { \pmb x } < 1$ ，或 $x > 3 \}$ D $\{ { \pmb x } \vert - 2 < { \pmb x } < 1$ ，或 $1 < x < 3 ]$

（5分）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）

（5分）为了得到函数 $y = \sin ( 2 x - \frac { \pi } { 3 } )$ 的图象，只需把函数 $v = s i n ( 2 x + \frac { \pi } { 6 } )$ 的图象（　　）

（5分） $\triangle A B C$ 中，点D在边AB上，CD平分 $\angle A C B$ ，若 $\overrightarrow { C B } = \overrightarrow { a } , \overrightarrow { C A } = \overrightarrow { b } , \vert \overrightarrow { \sf a } \vert = 1$ $\vert \overrightarrow { b } \vert = 2$ ，则 $\overrightarrow { \mathrm { C D } } =$ （　　）A $\frac { 1 } { 3 } \overrightarrow { \sf a } ^ { + } \frac { 2 } { 3 } \overrightarrow { \sf b }$ B ${ \frac { 2 } { 3 } } { \vec { \mathsf { a } } } ^ { + } { \frac { 1 } { 3 } } { \vec { \mathsf { b } } }$ C $\frac { 3 } { 5 } \overrightarrow { \sf a } + \frac { 4 } { 5 } \overrightarrow { \sf b }$ D $\frac { 4 } { 5 } \overrightarrow { \vert } = \frac { 3 } { 5 } \overrightarrow { \vert }$

（5分）已知正四棱锥 $\mathsf { S } - \mathsf { A B C D } \dagger$ ， $S A = 2 \sqrt { 3 } ,$ ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（　　）

（5分）若曲线 $\gamma = \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$ 在点 $( \textsf { a } , \bar { \textsf { a } } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } )$ 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（　　）

（5分）与正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 的三条棱AB、 $\mathsf { C C } _ { 1 } , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 所在直线的距离 相等的点（　　）

（5分）已知椭圆T： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ ，过右焦点F且 斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若 $\overline { { \mathtt { A F } } } = 3 \overline { { \mathtt { F B } } }$ ，则k=（　　） A．1 B $\sqrt { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D．2

（5分）若$(x-\dfrac{a}{x})^9$的展开式中$x^3$的系数是$-84$，则$a=\underline{\qquad\qquad}$．

（5分）已知抛物线C： $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { p } \mathsf { x } \ \left( \mathsf { p } { > } 0 \right)$ 的准线l，过M（1，0）且斜率为 $\sqrt { 3 }$ 的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若 $\overrightarrow { A M } = \overrightarrow { M B }$ ，则 $p = 2$

（5分）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆 N的公共弦， $\mathsf { A B } { = } 4$ ，若 $O M = O N = 3$ ，则两圆圆心的距离MN= 3

（10分） $\triangle \mathsf { A B C ^ { \scriptscriptstyle \perp } }$ 中，D为边BC上的一点，BD=33， $\sin B = \frac { 5 } { 1 3 } , \cos \angle A D C = \frac { 3 } { 5 }$ 求AD

（12分）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为 $\Pi _ { 1 }$ ， ${ \sf T } _ { 2 } ,$ ， ${ \sf T } _ { 3 }$ ， ${ \sf T } _ { 4 }$ ，电流能通过 ${ \sf T } _ { 1 }$ ， ${ \sf T } _ { 2 }$ ， ${ \sf T } _ { 3 }$ 的概率都是P，电流能通过 ${ \sf T } _ { 4 }$ 的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知 ${ \sf T } _ { 1 }$ ， ${ \sf T } _ { 2 }$ ， ${ \sf T } _ { 3 } { \sf I }$ 中至少有一个能通过电流的概率为0.999

（Ⅰ）求P；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率

（12分）已知斜率为1的直线l与双曲线C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F， $| \mathsf { D F } | \bullet | \mathsf { B F } | = 1 7$ ，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切

（12分）设函数f ${ \bf \Pi } ( \times ) \ { \bf \Pi } { = } 1 \mathrm { ~ - ~ } { \bf e } ^ { \mathrm { ~ - ~ } { \bf x } }$

（Ⅰ）证明：当 $| { \mathsf { x } } { \ge } - 1$ 时， ${ \textsf { f } } \left( { \textsf { x } } \right) \geq \frac { { \texttt { x } } } { { \texttt { x } } + 1 } ;$

（Ⅱ）设当x≥0时， ${ \textsf { f } } \left( { \textsf { x } } \right) \leq \frac { { \texttt { x } } } { { \texttt { a x } } + 1 } ,$ ，求a的取值范围