2012 新课标卷（旧） 数学

（5分）已知集合 $\mathbf { \delta A } { = } \{ { \mathbf { x } } | { \mathbf { x } } ^ { 2 } - { \mathbf { x } } - 2 { < } 0 \}$ $\mathsf { B } = \{ \mathsf { x } | - 1 { < } \mathsf { x } { < } 1 \}$ ，则（　　）A $\mathsf { A } \subsetneq \mathsf { B }$ B $\mathsf { B } \subsetneq \mathsf { A }$ C．A=B D．A∩B=∅

（5分）复数 $z = \frac { - 3 + i } { 2 + i }$ 的共轭复数是（　　）

（5分）设 ${ \sf F } _ { 1 } , \ { \sf F } _ { 2 }$ 是椭圆E： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右焦点，P为直线 $\pmb { \mathrm { x } } \pmb { = }$ $\frac { 3 \tt a } { 2 }$ 上一点， $\triangle \mathsf { F } _ { 2 } \mathsf { P } \mathsf { F } _ { 1 }$ 是底角为 $3 0 ^ { \circ }$ 的等腰三角形，则E的离心率为（A $\frac { 1 } { 2 }$ B $\frac { 2 } { 3 }$ C $\frac { 3 } { 4 }$ D $\frac { 4 } { 5 }$

（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点 $( { \bf { x } } , { \bf { \Lambda } } { \bf { y } } )$ 在 $\triangle A B C$ 内部，则 ${ \sf z } = - { \sf x } ^ { + } { \sf y }$ 的取值范围是（　　）

（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数 $\mathsf { a } _ { 1 }$ ， $\mathtt { a } _ { 2 }$ ，…， $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } } ,$ ，输出A，B，则（　　）

（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）

<table><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td colspan="2"></td><td></td><td></td><td colspan="2"></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为 ${ \sqrt { 2 } } ,$ 则此球的体积为（　　）A $\sqrt { 6 } \pi$ B $4 \sqrt { 3 } \pi$ C $4 \sqrt { 6 } \pi$ D $6 \sqrt { 3 } \pi$

（5分）已知 $\scriptstyle 1 \omega > 0 , 0 < \phi < \pi$ ，直线 $x = \frac { \pi } { 4 }$ 和 $\scriptstyle x = { \frac { 5 \pi } { 4 } }$ 是函数f $( \mathbf { x } ) = \sin ( \omega \mathbf { x } + \phi )$ 图象的两条相邻的对称轴，则φ=（A $\frac { \pi } { 4 }$ B $\frac { \pi } { 3 }$ C $\frac { \pi } { 2 }$ D $\frac { 3 \pi } { 4 }$

（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线 $\mathsf { y } ^ { 2 } \mathop { = } \mathtt { 1 } 6 \mathsf { x }$ 的准线交于点A和点B， $\vert A B \vert = 4 \sqrt { 3 }$ ，则C的实轴长为（　　）A $\sqrt { 2 }$ B $2 \sqrt { 2 }$ C．4 D．8

（5分）数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 满足 ${ \sf a } _ { \sf n + 1 } + \mathrm { ~ ~ \left( ~ - ~ \right)} 1 { \sf n } _ { { \sf a } _ { \sf n } = 2 \sf n } - 1$ ，则 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前60项和为（）

（5分）设函数f $( \mathbf { x } ) = \frac { ( \mathbf { x } + 1 ) \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } + \mathsf { s i n } \mathbf { x } } { \mathbf { \Sigma } _ { \mathbf { x } } \mathbf { \Sigma } ^ { 2 } + 1 }$ 的最大值为M，最小值为m，则 $\mathsf { M } + \mathsf { m }$ $= 2$

（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理

（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>日需求量n</td><td rowspan=1 colspan=1>14</td><td rowspan=1 colspan=1>15</td><td rowspan=1 colspan=1>16</td><td rowspan=1 colspan=1>17</td><td rowspan=1 colspan=1>18</td><td rowspan=1 colspan=1>19</td><td rowspan=1 colspan=1>20</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>频数</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td><td rowspan=1 colspan=1>20</td><td rowspan=1 colspan=1>16</td><td rowspan=1 colspan=1>16</td><td rowspan=1 colspan=1>15</td><td rowspan=1 colspan=1>13</td><td rowspan=1 colspan=1>10</td></tr></table>

（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率

（12分）如图，三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中，侧棱垂直底面， $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ $A C = B C$ $\mathsf { \Lambda } = \frac { 1 } { 2 } \mathsf { A } \mathsf { A } _ { 1 }$ ，D是棱 $\mathsf { A A } _ { 1 }$ 的中点

（Ⅰ）证明：平面 ${ \mathsf { B D C } } _ { 1 } \bot$ 平面BDC

（Ⅱ）平面 $\mathsf { B D C } _ { 1 }$ 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比

（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

①CD=BC；

② $\triangle B C D \sim \triangle G B D$

已知曲线$C_1$的参数方程是$\begin{cases}x=2\cos\phi\\y=3\sin\phi\end{cases}$（$\phi$为参数），以坐标原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线$C_2$的坐标系方程是$\rho=2$，正方形$ABCD$的顶点都在$C_2$上，且$A$，$B$，$C$，$D$依逆时针次序排列，点$A$的极坐标为$\left(2,\dfrac{\pi}{3}\right)$．
（1）求点$A$，$B$，$C$，$D$的直角坐标；
（2）设$P$为$C_1$上任意一点，求$|PA|^2+|PB|^2+|PC|^2+|PD|^2$的取值范围．