解三角形的实际应用　·　历年高考数学真题与解析

11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角θ=$\_$．(结果用角度制表示，精确到0.01°)

9．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点 $E$ ， $H, G$ 在水平线 $A C$ 上，$D E$ 和 $F G$ 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为＂表高＂，$E G$ 称为＂表距＂，$G C$ 和 $E H$ 都称为＂表目距＂，$G C$ 与 $E H$ 的差称为＂表目距的差＂则海岛的高 $A B=()$

15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示。 $O$ 为圆孔及轮廓圆弧 $A B$ 所在圆的圆心 ,$A$ 是圆弧 $A B$ 与直线 $A G$ 的切点，$B$ 是圆弧 $A B$ 与直线 $B C$ 的切点，四边形 $D E F G$ 为矩形，$B C \perp D G$ ，垂足为 $C$ ，

$\tan \angle O D C=\frac{3}{5}, B H / / D G, E F=12 \mathrm{~cm}, D E=2 \mathrm{~cm}, A$ 到直线 $D E$ 和 $E F$ 的距离均为 7 cm ，圆孔半径为 1 cm ，则图中阴影部分的面积为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{cm}^{2}$ ．

13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 $30^{\circ}$ 的方向上，行驶 600 m 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则此山的高度 $C D=$
$\_\_\_\_$ m．

15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 $30^{\circ}$的方向上，行驶 600 m 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 $75^{\circ}$ 的方向上，仰角为 $30^{\circ}$ ，则此山的高度
$C D=$ $\_\_\_\_$ m．

16．（5分）在平面四边形 $A B C D$ 中，$\angle A=\angle B=\angle C=75^{\circ} . B C=2$ ，则 $A B$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$ $(\sqrt{6}-\sqrt{2}, \sqrt{6}+\sqrt{2})$. ．

20、（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分如图， $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 三地有直道相通， $\mathrm{AB}=5$ 千米， $\mathrm{AC}=3$ 千米， $\mathrm{BC}=4$ 千米．现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f(t)$（单位：千米）．甲的路线是 AB ，速度为 5 千米／小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米／小时．乙到达 B 地后原地等待。设 $t=t_{1}$ 时乙到达 C 地。 。

（1）求 $t_{1}$ 与 $f\left(t_{1}\right)$ 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米．当 $t_{1} \leq t \leq 1$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $\left[t_{1}, 1\right]$ 上得最大值是否超过 3 ？说明理由．

13．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的俯角分别为 $67^{\circ}, 30^{\circ}$ ，此时气球的高是 $46 m$ ，则河流的宽度 BC 约等于 $\_\_\_\_$ $m$ ．（用四舍五入法将结果精确到．个位．参考数据： $\sin 67^{\circ} \approx 0.92$ ， $\cos 67^{\circ} \approx 0.39, \quad \sin 37^{\circ} \approx 0.60, \quad \cos 37^{\circ} \approx 0.80, \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

16．（5分）如图，为测量山高 MN ，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点，从 A点测得 $M$ 点的仰角 $\angle M A N=60^{\circ}$ ，C点的仰角 $\angle C A B=45^{\circ}$ 以及 $\angle M A C=75^{\circ}$ ；从C点测得 $\angle M C A=60^{\circ}$ ，已知山高 $B C=100 \mathrm{~m}$ ，则山高 $M N=$ $\_\_\_\_$ 150 m．

8．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的俯角分别为 $75^{\circ}, 30^{\circ}$ ，此时气球的高是 60 m ，则河流的宽度 BC 等于