2011 天津卷 数学

$i$ 是虚数单位，复数 $\dfrac{1-3i}{1-i}=$

已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其公差为 $-2$，且 $a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项，$S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，$n\in N^{*}$，则 $S_{10}$ 的值为

对实数 $a$ 和 $b$，定义运算 “$\otimes$”：$a \otimes b = \begin{cases} a, a - b \le 1, \\ b, a - b > 1. \end{cases}$ 设函数 $f(x) = (x^2 - 2) \otimes (x - x^2), x \in R$. 若函数 $y = f(x) - c$ 的图像与 $x$ 轴恰有两个公共点，则实数 $c$ 的取值范围是

一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人

数为

已知集合 $A=\left\{x\in R\,\big|\,|x+3|+|x-4|\le 9\right\}, B=\left\{x\in R\,\big|\,x=4t+\dfrac{1}{t}-6, t\in(0,+\infty)\right\}$，则集合 $A\cap B=$_________.

已知直角梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$\angle ADC=90^\circ$，$AD=2, BC=1$，$P$ 是腰 $DC$ 上的动点，则 $\left|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}\right|$ 的最小值为_________.

（本小题满分 13 分）

已知函数 $f ( x ) = \tan ( 2 x + \frac { \pi } { 4 } )$

（Ⅰ）求f x( )的定义域与最小正周期；

（II）设 $\alpha \in \left( 0 , { \frac { \pi } { 4 } } \right)$ ，若 $f ( \frac { \alpha } { 2 } ) = 2 \cos 2 \alpha$ ,求a的大小

（本小题满分13分）如图，在三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中，

H是正方形 $A A _ { 1 } B _ { 1 } B$ 的中心， $A A _ { 1 } = 2 \sqrt { 2 } \ , C _ { 1 } H \bot$ 平面 $A A _ { 1 } B _ { 1 } B$ ，且 $C _ { 1 } H = { \sqrt { 5 } } .$

（Ⅰ）求异面直线AC与 $\mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } }$ 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角 $A - A _ { 1 } C _ { 1 } - B _ { 1 }$ 的正弦值；

（Ⅲ）设N为棱 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点，点M 在平面 $A A _ { 1 } B _ { 1 } B$ 内，且 $M N \perp$ 平面 $A _ { 1 } B _ { 1 } C$ ，求线段BM的长