2011 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

3．若 $f(x)=\frac{1}{\log _{\frac{1}{2}}(2 x+1)}$ ，则 $f(x)$ 的定义域为（

1．若 $(x-i) i=y+2 i, x, y \in R$ ，则复数 $x+y i=()$

2．若全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}, M=\{2,3\}, N=\{1,4\}$ ，则集合 $\{5,6\}$ 等于（ ）

4．曲线 $y=e^{x}$ 在点 $\mathrm{A}(0,1)$ 处的切线斜率为

5．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列，公差 $\mathrm{d}=-2, S_{n}$ 为其前 n 项和．若 $S_{10}=S_{11}$ ，则 $a_{1}=$

6．观察下列各式：则 $7^{2}=49,7^{3}=343,7^{4}=2401, \cdots$ ，则 $7^{2011}$ 的末两位数字为

7．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为 $m_{e}$ ，众数为 $m_{o}$ ，平均值为 $\bar{x}$ ，则

8．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取 5 对父子的身高数据如下：

则 y 对 x 的线性回归方程为

9．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）

10．如图，一个＂凸轮＂放置于直角坐标系 X 轴上方，其＂底端＂落在原点 0 处，一顶点及中心 M 在 Y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成。

今使＂凸轮＂沿 X 轴正向滚动前进，在滚动过程中＂凸轮＂每时每刻都有一个＂最高点＂，其中心也在不断移动位置，则在＂凸轮＂滚动一周的过程中，将其＂最高点＂和＂中心点＂所形成的图形按上、下放置，应大致为

第 II 卷

## 注意事项：

第II卷 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．

13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 $\_\_\_\_$ ．

13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 $\_\_\_\_$ ．

15．对于 $x \in R$ ，不等式 $|x+10|-|x-2| \geq 8$ 的解集为 $\_\_\_\_$

16．（本小题满分 12 分）

某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别。公司准备了两种不同的饮料共 5杯，其颜色完全相同，并且其中 3 杯为 A 饮料，另外 2 杯为 B 饮料，公司要求此员工

一一品尝后，从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料．若该员工 3 杯都选对，则评为优秀；若 3

杯选对 2 杯，则评为良好；否则评为及格。假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力。
（1）求此人被评为优秀的概率；
（2）求此人被评为良好及以上的概率．

17．（本小题满分 12 分）

在 $\triangle A B C$ 中，$A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知 $3 a \cos A=c \cos B+b \cos C$ ．
（1）求 $\cos A$ 的值；
（2）若 $a=1, \cos B+\cos C=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求边 $c$ 的值．

18．（本小题满分 12 分）
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B=\frac{\pi}{2}, A B=B C=2, P$ 为 $A B$ 边上一动点， $\mathrm{PD} / \mathrm{BC}$ 交 AC 于 点 D ，现将 $\triangle P D A_{\text {沿 }} P D$ 翻折至 $\triangle P D A^{\prime}$ ，使平面 $\mathrm{PDA}^{\prime} \perp$ 平面 $P B C D$ ．
（1）当棱锥 $A^{\prime}-P B C D$ 的体积最大时，求 PA 的长；
（2）若点 P 为 AB 的中点， E 为 $A^{\prime} C$ 的中点，求证： $\mathrm{A}^{\prime} B \perp D E$ ．

## 19．（本小题满分 12 分）

已知过抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的焦点，斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A\left(x_{1}, y_{2}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ （ $x_{1}（1）求该抛物线的方程；
②$O$ 为坐标原点，$C$ 为抛物线上一点，若 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\lambda \overrightarrow{O B}$ ，求 $\lambda$ 的值．

20．（本小题满分 13 分）
设 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+m x^{2}+n x$ ．
（1）如果 $g(x)=f^{\prime}(x)-2 x-3$ 在 $x=-2$ 处取得最小值 -5 ，求 $f(x)$ 的解析式；
（2）如果 $m+n<10\left(m, n \in N_{+}\right), f(x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，的值．（注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b-a$ ）

## 21．（本小题满分 14 分）

（1）已知两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，满足 $a_{1}=a(a>0), b_{1}-a_{1}=1, b_{2}-a_{2}=2, b_{3}-a_{3}=3$ ，

若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 唯一，求 $a$ 的值；
（2）是否存在两个等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，使得 $b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}, b_{4}-a_{4}$ 成公差不为 0的等差数列？若存在，求 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；若不存在，说明理由．

## 2011年江西高考文科数学真题及答案

本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．

## 考生注意：