2011 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．设全集 $U=M \cup N=\{1,2,3,4,5\}, M \cap C_{\mathrm{u}} \mathrm{N}=\{2,4\}$ ，则 $\mathrm{N}=$

2．若 $a, b \in R, i$ 为虚数单位，且 $(a+i) i=b+i$ 则

3．＂$x>1$＂是＂$|x|>1$＂的

4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为

5．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下粯列联表： | | 男 | 女 | 总计 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 爱好 | 40 | 20 | 60 | | 不爱好 | 20 | 30 | 50 | | 总计 | 60 | 50 | 110 | 由 $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+d)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 算得，$K^{2}=\frac{110 \times(40 \times 30-20 \times 20)^{2}}{60 \times 50 \times 60 \times 50} \approx 7.8$ 附表： | $p\left(K^{2} \geq k\right)$ | 0.050 | 0.010 | 0.001 | | :---: | :--- | :--- | :--- | | k | 3.841 | 6.635 | 10.828 | 参照附表，得到的正确结论是

6．设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$ 的渐近线方程为 $3 x \pm 2 y=0$ ，则 a 的值为

7．曲线 $y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}$ 在点 $\mathrm{M}\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 处的切线的斜路为

8．已知函数 $f(x)=e^{x}-1, g(x)=-x^{2}+4 x-3$ ，若有 $f(a)=g(b)$ ，则 b 的取值范围为

10．已知某试验范围为［10，90］，若用分数法进行 4 次优选试验，则第二次试点可以是 $\_\_\_\_$ （二）必做题（ $11 \sim 16$ 题）

11．若执行如图2所示的框图，输入 $x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=4, x_{4}=8$ 则输出的数等于 $\_\_\_\_$

15．已知圆 $C: x^{2}+y^{2}=12$ ，直线 $l: 4 x+3 y=25$ ． （1）圆 $C$ 的圆心到直线 $l$ 的距离为 $\_\_\_\_$。 （2）圆 $C$ 上任意一点 $A$ 到直线 $l$ 的距离小于 2 的概率为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，且满足 $\mathrm{c} \sin \mathrm{A}=\mathrm{a} \cos \mathrm{C}$ ． （I）求角 C 的大小； （II）求 $\sqrt{3} \sin \mathrm{~A}-\cos \left(\mathrm{B}+\frac{\pi}{4}\right)$ 的最大值，并求取得最大值时角 A 、 B 的大小．

18．（本小题满分 12 分） 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量 X （单位：毫米）有关，据统计，当 $\mathrm{X}=70$ 时， $\mathrm{Y}=460$ ； X 每增加10，Y增加5．已知近20年X的值为： $140,110,160,70,200,160,140,160,220,200$ ， $110,160,160,200,140,110,160,220,140,160$. （I）完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 | 降雨量 | 70 | 110 | 140 | 160 | 200 | 220 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 频率 | $\frac{1}{20}$ | | $\frac{4}{20}$ | | | $\frac{2}{20}$ | （II）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490 （万千瓦时）或超过 53 0 （万千瓦时）的概率．

19．（本小题满分 12 分） 如图3，在圆锥 $P O$ 中，已知 $P O=\sqrt{2}, \odot O$ 的直径 $A B=2$ ，点 $C$ 在 $\overparen{A B}$ 上，且 $\angle \mathrm{CAB}=30^{\circ}, D$ 为 $A C$的中点． （I）证明：$A C \perp$ 平面 $P O D$ ； （II）求直线 $O C$ 和平面 $P A C$ 所成角的正弦值．  图3

20．（本小题满分 13 分） 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 $M, M$ 的价值在使用过程中逐年减少。从第2年到第6年，每年初 $M$ 的价值比上年初减少 10 万元；从第7年开始，每年初 $M$ 的价值为上年初的 $75 \%$ 。 （I）求第 $n$ 年初 $M$ 的价值 $a_{n}$ 的表达式； （II）设 $A_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}}{n}$ ，若 $A_{n}$ 大于 80 万元，则 $M$ 继续使用，否则须在第 $n$ 年初对 $M$ 更新，证明：须在第9年初对 $M$ 更新。

21．（本小题满分 13 分） 已知平面内一动点 $P$ 到点 $F(1,0)$ 的距离与点 $P$ 到 $y$ 轴的距离的差等于 1 ． （I）求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程； （II）过点 $F$ 作两条斜率存在且互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $A, B, \quad l_{2}$ 与轨迹 $C$ 相交于点 $D, E$ ，求 $\overrightarrow{A D}, \overrightarrow{E B}$ 的最小值．

22．（本小题满分 13 分） 设函数 $f(x)=x-\frac{1}{x}-a \ln x(a \in R)$ ． （I）讨论函数 $f(x)$ 的单调性． （II）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，记过点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的直线斜率为 $k$ ．问：是否存在 $a$ ，使得 $k=2-a$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由。 ## 2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）