2016 上海卷 数学

设 $x \in \mathbf { R }$ ，则不等式 $\left| x - 3 \right| < 1$ 的解集为

设 $z = \frac { 3 + 2 \mathrm { i } } { \mathrm { i } }$ ，其中i为虚数单位，则z的虚部等于

已知平行直线 $l _ { 1 } : 2 x + y - 1 = 0 , l _ { 2 } : 2 x + y + 1 = 0$ ，则 $l _ { 1 }$ 与 $l _ { 2 }$ 的距离是

某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数是 （米）.

若函数 $f ( x ) = 4 \sin x + a \cos x$ 的最大值为5，则常数a =

已知点(3,9)在函数 $f ( x ) = 1 + a ^ { x }$ 的图像上，则 f x 的反函数 $\ x ^ { - 1 } ( x ) =$

在 $\left( { \sqrt [ [ 3 ] { x } } - { \frac { 2 } { x } } \right) ^ { n }$ 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于

已知 $\triangle A B C$ C的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于

某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为

如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P是曲线 $y = { \sqrt { 1 - \ x ^ { 2 } } }$ 上一个动点，则 $\stackrel { \mathrm { u u u } } { O P } \times \stackrel { \mathrm { u u } } { B A }$ 的取值范围是

设 $a \in \mathbf { R }$ ，则 $^ { \ast } a > 1 ^ { \prime }$ ”是 $^ { \cdot } a ^ { 2 } > 1 ^ { \cdot }$ 的（ ）.

（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件

如图，在正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 中，E、F分别为BC、 $B { B _ { 1 } }$ 的中点，则下列直线中与直线 $E F$ 相交的是（ ）.

设 a Î R ， b Î [0,2π].若对任意实数x都有 $\sin ( 3 x - \frac { \pi } { 3 } ) { = } \sin ( a x + b )$ ，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（ ）.

设f x、g x、h x是定义域为R的三个函数．对于命题：①若 $f ( x ) + g ( x )$ f x h x +、 g x h x + 均是增函数，则 f x、 g x、 h x 均是增函数；②若f x g x +、 f x h x +、 g x h x + 均是以T 为周期的函数，则 f x、 g x、h x均是以T为周期的函数，下列判断正确的是.

（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.

将边长为1的正方形 $A A _ { 1 } O _ { 1 } O$ （及其内部）绕OO旋转一周形成圆柱，如图， $\widehat { A C }$ 长为 $\frac { 5 \pi } { 6 }$ $\widehat { A _ { 1 } B _ { 1 } }$ 长为 $\frac { \pi } { 3 }$ ，其中B₁与C在平面AA₁O₁O的同侧.

（1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线 $\mathcal { O } _ { 1 } B _ { 1 }$ 与OC所成的角的大小.

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分8分.

有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域 $S _ { 1 }$ 和 $S _ { 2 }$，其中 $S _ { 1 }$ 中的蔬菜运到河边较近， $S _ { 2 }$ 中的蔬菜运到F点较近，而菜地内 $S _ { 1 }$ 和 $S _ { 2 }$ 的分界线C上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.

（1）求菜地内的分界线C的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出 $S _ { 1 }$ 面积是 $S _ { 2 }$ 面积的两倍，由此得到 $S _ { 1 }$ 面积的“经验值”为 $\frac { 8 } { 3 }$ .设M 是C上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于 $S _ { 1 }$ 面积的“经验值”.

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线 $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( b > 0 )$ 的左、右焦点分别为F、F，直线l过 $F _ { 2 }$ 且与双曲线交于A、B两 点.

（1）若l的倾斜角为 $\frac { \pi } { 2 }$ ， $\triangle F _ { 1 } A B$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

②设 $b = { \sqrt { 3 } }$ ，若l的斜率存在，且 $| \boldsymbol { A } \boldsymbol { B } | = 4$ ，求l的斜率.

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知 $a \in \mathbb { R } .$，函数 $f ( x ) = \log _ { 2 } ( \frac { 1 } { x } + a )$

（1）当a =1时，解不等式 $f ( x ) > 1$

（2）若关于x 的方程 $f ( x ) + \log _ { 2 } ( x ^ { 2 } ) = 0$ 的解集中恰有一个元素，求a 的值；

③设a >0，若对任意 $t \in [ \frac 1 2 , 1 ]$，函数 f x 在区间 $[ t , t + 1 ]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.