2019 浙江卷 数学

已知全集 $U = \{ - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 \}$ ，集合 $A = \left\{ 0 , 1 , 2 \right\}$ $B = \left\{ - 1 , 0 , 1 \right\}$ ，则 $( \mathsf { C } _ { \mathrm { U } } A ) \ \cap B = \mathrm { ~ ( ~ \qquad ~ ) ~ }$

渐近线方程为x y± =0的双曲线的离心率是（ ）

若实数</sub>x y, _{满足约束条件} $\left\{ { \begin{array} { l } { x - 3 y + 4 \geq 0 } \\ { 3 x - y - 4 \leq 0 } \\ { x + y \geq 0 } \end{array} } \right.$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值是（ ）

祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 $V _ { \ast \ast \ast } = S h$ ，其中S是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）

俯概图

若 $a > 0 , b > 0$ ，则“ $a + b \leq 4 ^ { \prime \prime }$ 是 “ ab £ 4 ”的（ ）

在同一直角坐标系中，函数 $y = { \frac { 1 } { a ^ { x } } } , y = \log _ { a } \left( x + { \frac { 1 } { 2 } } \right) ( a > 0$ 且 $a \neq 0 )$ 的图象可能是（ ）

设 $0 < a < 1$ ，则随机变量X的分布列是：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>1</td><td rowspan=1 colspan=1>1-3</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>a</td><td rowspan=1 colspan=1>1-3</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>0</td><td rowspan=1 colspan=1>1-3</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>X</td><td rowspan=1 colspan=1>P</td></tr></table>

则当a在(0,1)内增大时（）

设三棱锥V ABC- 的底面是正三角形，侧棱长均相等， P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为a，直线PB与平面ABC所成角为b，二面角 $P - A C - B$ 的平面角为，则（ ）

设 $a , b \in R$ ，数列 $\{ a _ { \textit { n } } \}$ 中， $a _ { 1 } = a , a _ { n + 1 } = a _ { n } { ^ { 2 } } + b$ $\ b { n } \in \mathbf { N } ^ { * }$ ， ,则（ ）

复数 $z = \frac { 1 } { 1 + i }$ （i为虚数单位），则| |z =

已知圆C 的圆心坐标是(0, )m ，半径长是 r .若直线 $2 x - y + 3 = 0$ 与圆相切于点 A( 2, 1)- - ，则m = r =

在二项式 $( { \sqrt { 2 } } + x ) ^ { 9 }$ 的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是【答案】 (1). $1 6 \sqrt { 2 }$ (2). 5

本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x的幂指数，使问题得解.

在 $ { \mathsf { V } } A B C$ 中， $\angle A B C = 9 0 ^ { \circ }$ $A B = 4$ $B C = 3$ ，点D在线段 A C 上，若 $\angle B D C = 4 5 ^ { \circ }$ ，则BD = \_\_\_\_； $\cos \angle A B D =$

已知椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 5 } = 1$ 的左焦点为F ，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段 $P F$ 的中点在以原点O为圆心， $\left| O F \right|$ 为半径的圆上，则直线PF的斜率是

已知 $a \in R$ ，函数 $f ( x ) = a x ^ { 3 } - x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $\mid f ( t + 2 ) - f ( t )$ |£ $\frac { 2 } { 3 }$ ，则实数a的最大值是\_\_\_\_【答案】 $a _ { \mathrm { m a x } } = \frac { 4 } { 3 }$

如图，已知三棱柱 $A B C - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ ，平面 $A _ { 1 } A C _ { 1 } C \perp$ 平面 ABC _, $\angle A B C = 9 0 ^ { \circ }$

$\angle B A C = 3 0 ^ { \circ } , A _ { 1 } A = A _ { 1 } C = A C , E , F$ 分别是 $A C , A _ { 1 } B _ { 1 }$ 的中点.

（1）证明： $E F \perp B C$ ；

（2）求直线 $E F ^ { \mathrm { ~ I ~ } }$ 与平面 $A _ { 1 } B C$ 所成角的余弦值.

设等差数列 $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前n项和为 $S _ { n } , a _ { 3 } = 4 , a _ { 4 } = S _ { 3 }$ ，数列 $\left\{ b _ { n } \right\}$ 满足：对每 $n \in { \bf N } ^ { * } , S _ { n } + b _ { n } , S _ { n + 1 } + b _ { n } , S _ { n + 2 } + b _ { n }$ 成等比数列.

（1）求数列 $\{ a _ { n } \} , \{ b _ { n } \}$ 的通项公式；

（2）记 $C _ { n } = \sqrt { \frac { a _ { n } } { 2 b _ { n } } } , n \in \mathbf { N } ^ { * }$ , 证明： $C _ { 1 } + C _ { 2 } + \cdots + C _ { n } < 2 { \sqrt { n } } , n \in \mathbf { N } ^ { * }$

如图，已知点 $F ( 1 , 0 )$ 为抛物线 $y ^ { 2 } = 2 p x ( p > 0 )$ ，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于AB, 两点，点C在抛物线上，使得VABC的重心G 在x 轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记$\triangle A F G , \triangle C Q G$ 的面积为 $S _ { 1 } , S _ { 2 }$

_（1）求p _{的值及抛物线的标准方程；}

（2）求 $\frac { S _ { 1 } } { S _ { 2 } }$ 的最小值及此时点G 的坐标.

已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f ( x ) { = } a \ln x + { \sqrt { x + 1 } } , x > 0$

（1）当 $a = - { \frac { 3 } { 4 } }$ 时，求函数f x( )的单调区间；

（2）对任意 $x \in [ \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { 2 } } , + \infty )$ 均有 $f ( x ) \leq { \frac { \sqrt { x } } { 2 a } }$ , 求 a的取值范围.

注： $\mathsf { e } = 2 . 7 1 8 2 8 .$ ..为自然对数的底数.