2022 天津卷 数学

设全集 $U=\{-2,-1,0,1,2\}$ ，集合 $A=\{0,1,2\}, \mathrm{B}=\{-1,2\}$ ，则 $A \cap\left(\widetilde{d}_{U} B\right)=(\quad)$

＂$x$ 为整数＂是＂ $2 x+1$ 为整数＂的（ ）

函数 $f(x)=\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x}$ 的图像为（ ）

为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： kPa ）的分组区间为 $[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]$ ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，$\ldots$ ，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为（ ）

已知 $a=2^{0.7}, b=\left(\frac{1}{3}\right)^{0.7}, c=\log _{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

化简 $\left(2 \log _{4} 3+\log _{8} 3\right)\left(\log _{3} 2+\log _{9} 2\right)$ 的值为（）

已知抛物线 $y^{2}=4 \sqrt{5} x, F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 $F_{1}$ ，与双曲线的渐近线交于点 $A$ ，若 $\angle F_{1} F_{2} A=\frac{\pi}{4}$ ，则双曲线的标准方程为（ ）

如图，＂十字歇山＂是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 $120^{\circ}$ ，腰为 3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（）

已知 $f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x$ ，关于该函数有下列四个说法：
①$f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ ；
②$f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上单调递增；
（3）当 $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$ 时，$f(x)$ 的取值范围为 $\left[-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right]$ ；
④$f(x)$ 的图象可由 $\mathrm{g}(x)=\frac{1}{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为

已知 i 是虚数单位，化简 $\frac{11-3 \mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}$ 的结果为 $\_\_\_\_$ ．

$\left(\sqrt{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)^{5}$ 的展开式中的常数项为 $\_\_\_\_$ ．

若直线 $x-y+m=0(m>0)$ 与圆 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=3$ 相交所得的弦长为 $m$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ．

52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 $A$ 的概率为 $\_\_\_\_$ ；已知第一次抽到的是 $A$ ，则第二次抽取 $A$ 的概率为 $\_\_\_\_$

在 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow{C A}=\vec{a}, \overrightarrow{C B}=\vec{b}, D$ 是 $A C$ 中点， $\overrightarrow{C B}=2 \overrightarrow{B E}$ ，试用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\overrightarrow{D E}$ 为 $\_\_\_\_$ ，若 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{D E}$ ，则 $\angle A C B$ 的最大值为 $\_\_\_\_$

设 $a \in \mathbf{R}$ ，对任意实数 x ，记 $f(x)=\min \left\{|x|-2, x^{2}-a x+3 a-5\right\}$ ．若 $f(x)$ 至少有 3 个零点，则实数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

在 $\triangle A B C$ 中，角 $A , B , C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a=\sqrt{6}, b=2 c, \cos A=-\frac{1}{4}$ ．
（1）求 $c$ 的值；
（2）求 $\sin B$ 的值；
（3）求 $\sin (2 A-B)$ 的值．

直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$A A_{1}=A B=A C=2, A A_{1} \perp A B, A C \perp A B, D$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，$E$ 为 $A A_{1}$ 的中点，$F$ 为 $C D$ 的中点．

（1）求证：$E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）求直线 $B E$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成角的正弦值；
（3）求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 所成二面角的余弦值．

设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$ ．

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，求证：$\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right) b_{n}=S_{n+1} b_{n+1}-S_{n} b_{n}$ ；
（3）求 $\sum_{k=1}^{2 n}\left[a_{k+1}-(-1)^{k} a_{k}\right] b_{k}$ ．

椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$ 、右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，且满足 $\frac{|B F|}{|A B|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆的离心率 $e$ ；
（2）直线 $l$ 与椭圆有唯一公共点 $M$ ，与 $y$ 轴相交于 $N$（ $N$ 异于 $M$ ）．记 $O$ 为坐标原点，若 $|O M|=|O N|$ ，且 $\triangle O M N$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求椭圆的标准方程．

已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=e^{x}-a \sin x, g(x)=b \sqrt{x}$
（1）求函数 $y=f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2）若 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点，
（i）当 $a=0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证：$a^{2}+b^{2}>\mathrm{e}$ ．