2009 全国 I 卷（旧） 数学

（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合 ${ \bf C } _ { \sf U } { \bf \Xi } \left( { \sf A } { \cap } { \sf B } \right)$ 中的元素共有（　　）

（5分）不等式 $| \frac { \mathbf { x } + 1 } { \mathbf { x } - 1 } | < 1$ 的解集为（　　）A $\{ \mathsf { x } | 0 { < } \mathsf { x } { < } 1 \} \cup \{ \mathsf { x } | \mathsf { x } { > } 1 \}$ B $\{ { \pmb { x } } | 0 { < } { \pmb { x } } { < } 1 \}$ C $\{ { \pmb { \times } } \vert - 1 { < } { \pmb { \times } } { < } 0 \}$

D $\{ \mathbf { x } | \mathbf { x } { < } 0 \}$

（5分）已知 $\tan a = 4$ $\cot \beta = \frac { 1 } { 3 }$ ，则 $\mathsf { t a n \ ( { \mathsf { a } } ^ { + } \mathsf { \beta } ) \ = \ ( \qquad } $ A $\frac { 7 } { 1 1 }$ B $- \frac { 7 } { 1 1 }$ C $\frac { 7 } { 1 3 }$ D $- \frac { 7 } { 1 3 }$

（5分）已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的渐近线与抛物线 $y = x ^ { 2 } + 1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（　　） A $\sqrt { 3 }$ B．2 C $\sqrt { 5 }$ D $\sqrt { 6 }$

（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（　　）

（5分）设非零向量 $\vec { \mathsf { a } } ,$ 、 、 满足 $\vert \overrightarrow { a } \vert = \vert \overrightarrow { b } \vert = \vert \overrightarrow { c } \vert$ $\overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } = \overrightarrow { c }$ ，则 $< \overrightarrow { a } , \overrightarrow { b } > = ($ ）A $\boldsymbol { 1 5 0 ^ { \circ } }$ B $\Omega 0 ^ { \circ }$ C $60 ^ { \circ }$ D $30 ^ { \circ }$

（5分）已知三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 的侧棱与底面边长都相等， ${ \sf A } _ { 1 }$ 在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 所成的角的余弦值为（　　）

A $\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }$ B $\frac { \sqrt { 5 } } { 4 }$ C $\frac { \sqrt { 7 } } { 4 }$ D $\frac { 3 } { 4 }$

（5分）如果函数 $y = 3 \cos ( 2 x + \phi )$ 的图象关于点 $( \frac { 4 \pi } { 3 }$ ，0）中心对称，那么 $| \Phi |$ 的最小值为（　　）A $\frac { \pi } { 6 }$ B $\frac { \pi } { 4 }$ C $\frac { \pi } { 3 }$ D． $\frac { \pi } { 2 }$

（5分）已知二面角 ${ \mathfrak { a } } - { \mathfrak { l } } - { \mathfrak { \beta } }$ 为 $1 6 0 ^ { \circ }$ ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为 $\sqrt { 3 }$ ，Q到α的距离为 $2 \sqrt { 3 }$ ，则P、Q两点之间距离的最小值为（　　）

A．1 B．2 C $2 \sqrt { 3 }$ D．4

（5分）已知椭圆C： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C 于点B，若 $\overrightarrow { F A } = 3 \overrightarrow { F B }$ ，则 $\left| \begin{array} { c } { { \overrightarrow { { \sf A F } } } } \end{array} \right| =$ （ A $\sqrt { 2 }$ B．2 C $\sqrt { 3 }$ D．3

（5分）（x﹣y）¹⁰的展开式中， $\mathsf { x } ^ { 7 } \mathsf { y } ^ { 3 }$ 的系数与 $\mathsf { x } ^ { 3 } \mathsf { y } ^ { 7 }$ 的系数之和等于　﹣240

（5分）设等差数列$\{a_n\}$的前$n$的和为$S_n$，若$S_9=72$，则$a_2+a_4+a_9=$____．

（10分）设等差数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ，公比是正数的等比数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的前n项和为 ${ \sf T } _ { \sf n } ,$ ，已知 $\mathsf { I a } _ { 1 } \mathsf { = } 1$ $\mathsf { b } _ { 1 } = 3$ $a _ { 3 } + b _ { 3 } = 1 7$ $\mathsf T _ { 3 } - \mathsf S _ { 3 } { = } 1 2$ ，求 $\left\{ { \sf a } _ { \sf n } \right\} , \quad \left\{ { \sf b } _ { \sf n } \right\}$ 的通项公式

（12分）在 $\triangle A B C \sharp$ ，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知 $\mathsf { \Omega } \mathsf { I } \mathsf { a } ^ { 2 } \mathrm { ~ - ~ } \mathsf { c } ^ { 2 } \mathsf { = } 2$ b，且 $\sin A \cos C = 3 \cos A \sin C$ ，求b

（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD$\scriptstyle = { \sqrt { 2 } } , { \mathsf { D C } } = { \mathsf { S D } } = 2$ ，点M在侧棱SC上， $\angle A B M = 6 0 ^ { \circ }$

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小

（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局

（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；

（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率