2016 江苏卷 数学

（5分）（2016•江苏）已知集合 $\cdot \mathrm { A } { = } \left\{ \begin{array} { r } { { - 1 } , } \end{array} 2 , \begin{array} { r } { 3 , } \end{array} 6 \right\}$ $\mathrm { B } { = } \{ \mathrm { x } { \mathrm { ~ } } | \mathrm { ~ - ~ } 2 { < } \mathrm { x } { < } 3 \}$ ，则A∩B=\_\_\_\_

（5分）（2016•江苏）复数$z=$（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是

（5分）（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 7 } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { 3 } = 1$ 的焦距是

（5分）（2016•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是

（5分）（2016•江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是

（5分）（2016•江苏）已知 $\{ \mathbf { a } _ { \mathrm { n } } \}$ 是等差数列， $\mathrm { { S _ { n } } . }$ 是其前n项和，若 ${ \bf a } _ { 1 } { + } { \bf a } _ { 2 } ^ { 2 } { = } { - } ~ 3 , ~ { \bf S } _ { 5 } { = } 1 0$ 则a₉的值是

（5分）（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数$y=sin2x$的图象与$y=cosx$的图象的交点个数是

（5分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0$

）的右焦点，直线 $\mathrm { y } { = } \frac { \mathrm { b } } { 2 }$ 与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是

（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，$\textbf { f } ( \mathbf { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + \bar { \mathbf { a } } , \quad - 1 \leqslant \mathbf { x } < 0 } \\ { \displaystyle \left| \frac { 2 } { 5 } - \mathbf { x } \right| , \ 0 \leqslant \mathbf { x } < 1 } \end{array} \right. ,$ ，其中a∈R，若f $( - \frac { 5 } { 2 } ) = 5 ( \frac { 9 } { 2 } )$ ，则f（5a）的值是

（5分）（2016•江苏）已知实数x，y满足 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \bf x } - 2 { \bf y } + 4 \mathcal { R } \nabla 0 } \\ { 2 { \bf x } + { \bf y } - 2 \mathcal { R } 0 } \\ { 3 { \bf x } - { \bf y } - 3 \leqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则 $\mathbf { x } ^ { 2 } { + } \mathbf { y } ^ { 2 }$ 的取值范围是

（5分）（2016•江苏）如图，在 $\triangle \mathrm { A B C }$ 中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点， $\overrightarrow { B A } \cdot \overrightarrow { C A } = 4$ $\overrightarrow { \mathrm { B F } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { C F } } = - \mathrm { ~ 1 ~ }$ ，则 $\overrightarrow { \mathrm { B E } } \cdot \overrightarrow { \mathrm { C E } } |$ 的值是\_

（5分）（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若$\sin A=2\sin B\sin C$，则$\tan A\tan B\tan C$的最小值是______．

（14分）（2016•江苏）在 $\triangle \mathrm { A B C }$ 中，AC=6， $\cos B = \frac { 4 } { 5 } , C = \frac { \pi } { 4 }$

（1）求AB的长；

（2）求 $\cos { \mathrm { ~ ( A - \frac { \pi } { 6 } ) } }$ 的值．

（14分）（2016•江苏）如图，在直三棱柱 $\mathrm { A B C } - \mathrm { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } }$ 中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱 $\mathrm { B _ { 1 } B _ { \cdot } }$ 上，且 $\mathrm { B _ { 1 } D \bot A _ { 1 } F , ~ \ A _ { 1 } C _ { 1 } \bot A _ { 1 } B _ { 1 } }$ ．求证：

（1）直线DE∥平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$

（2）平面 $\mathrm { B _ { 1 } D E \perp }$ 平面 $\mathrm { A } _ { 1 } \mathrm { C } _ { 1 } \mathrm { F }$

（10分）（2016•江苏）已知矩阵A=$\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\end{bmatrix}$，矩阵B的逆矩阵B$^{-1}$=$\begin{bmatrix}1&-\dfrac{1}{2}\\0&2\end{bmatrix}$，求矩阵AB．

（2016•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \mathbf { x } = 1 + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { t } } \\ { \displaystyle \mathbf { y } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { t } } \end{array} \right.$ （t为参数），椭圆C的参数方程为 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \cos { \boldsymbol { \Theta } } } \\ { \mathbf { y } = 2 \sin { \boldsymbol { \Theta } } } \end{array} \right. }$ （θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长

（10分）（2016•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l： $\mathbf { x } - \mathbf { y } - 2 { = } 0$ ，抛物线C： $\scriptstyle \mathbf { y } ^ { 2 } = 2 \mathbf { p } \mathbf { x } \ \left( \mathbf { p } > 0 \right)$

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q

①求证：线段PQ的中点坐标为 $( 2 \tt - p , \mathrm { ~ \tt ~ - ~ p ~ ) ~ }$

②求p的取值范围