2008 地方卷 · 理 数学

复数 $\frac{i(2+i)}{1-2 i}$ 等于

为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。设定原信息为 $a_{0} a_{1} a_{2}, a_{i} \in\{0,1\}(i=0,1,2)$ ，传输信息为 $h_{0} a_{0} a_{1} a_{2} h_{1}$ ，其中 $h_{0}=a_{0} \oplus a_{1}, h_{1}=h_{0} \oplus a_{2}, \oplus$ 运算规则为： $0 \oplus 0=0, ~ 0 \oplus 1=1, ~ 1 \oplus 0=1, ~ 1 \oplus 1=0$ ，例如原信息为 111 ，则传输信息为 01111 。传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）

长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的各顶点都在球 $O$ 的球面上，其中 $A B: A D: A A_{1}=1: 1: \sqrt{2} . A, B$ 两点的球面距离记为 $m, A, D_{1}$ 两点的球面距离记为 $n$ ，则 $\frac{m}{n}$ 的值为 $\_\_\_\_$ ．

关于平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ ．有下列三个命题：
①若 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}$ ，则 $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$ 。②若 $\boldsymbol{a}=(1, k), \boldsymbol{b}=(-2,6), \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，则 $k=-3$ ．
③非零向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ．
其中真命题的序号为 $\_\_\_\_$ ．（写出所有真命题的序号）

某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 $\_\_\_\_$种。（用数字作答）。

（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\frac{k x+1}{x^{2}+c}(c>0$ 且 $c \neq 1, k \in \mathbf{R})$ 恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是 $x=-c$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的另一个极值点；
（II）求函数 $f(x)$ 的极大值 $M$ 和极小值 $m$ ，并求 $M-m \geqslant 1$ 时 $k$ 的取值范围．

（本小题满分 14 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=\frac{3}{5}, a_{n+1}=\frac{3 a_{n}}{2 a_{n}+1}, n=1,2, \cdots$ ．
（I）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明：对任意的 $x>0, a_{n} \geqslant \frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x)^{2}}\left(\frac{2}{3^{n}}-x\right), n=1,2, \cdots$ ；
（III）证明：$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}>\frac{n^{2}}{n+1}$ ．