2008 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．在复平面内，复数 $z=\sin 2+i \cos 2$ 对应的点位于

2．定义集合运算：$A * B=\{z \mid z=x y, x \in A, y \in B\}$ 。设 $A=\{1,2\}, B=\{0,2\}$ ，则集合 $A * B$的所有元素之和为

3．若函数 $y=f(x)$ 的值域是 $\left[\frac{1}{2}, 3\right]$ ，则函数 $F(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}$ 的值域是

4． $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x}-1}=$

5．在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ，则 $a_{n}=$

6．函数 $y=\tan x+\sin x-|\tan x-\sin x|$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内的图象大致是  A  B  C  D

7．已知 $F_{1} , F_{2}$ 是椭圆的两个焦点．满足 $\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=0$ 的点 $M$ 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是

8．$(1+\sqrt[3]{x})^{6}\left(1+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}\right)^{10}$ 展开式中的常数项为

9．若 $0<a_{1}<a_{2}, 0<b_{1}<b_{2}$ ，且 $a_{1}+a_{2}=b_{1}+b_{2}=1$ ，则下列代数式中值最大的是

10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦 $\mathrm{AB} , \mathrm{CD}$ 的长度分别等于 $2 \sqrt{7} , 4 \sqrt{3}, ~ M , N$ 分别为 $A B , C D$ 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦 $\mathrm{AB} , \mathrm{CD}$ 可能相交于点 M ②弦 $\mathrm{AB} , \mathrm{CD}$ 可能相交于点 N ③ MN 的最大值为 5 ④ MN 的最小值为 1 其中真命题的个数为

11．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一 时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为

12．已知函数 $f(x)=2 m x^{2}-2(4-m) x+1, g(x)=m x$ ，若对于任一实数 $x, f(x)$ 与 $g(x)$的值至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是

13．直角坐标平面内三点 $A(1,2) , B(3,-2) , C(9,7)$ ，若 $E , F$ 为线段 $B C$ 的三等分点，则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=$ $\_\_\_\_$。

14．不等式 $2^{x-\frac{3}{x}+1} \leqslant \frac{1}{2}$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

15．过抛物线 $x^{2}=2 p y(p>0)$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线，与抛物线分别交于 $A , B$ 两点 ( $\_\_\_\_$ .

16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块 ，容器内盛有 $a$ 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 $P$ 。如果将容器倒置，水面也恰好过点 $P$（图2）。有下列四个命题：

17．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle A B C$ 中．$a , b , c$ 分别为角 $A , B , C$ 所对的边长， $a=2 \sqrt{3}, \tan \frac{A+B}{2}+\tan \frac{C}{2}=4, \sin B \sin C=\cos ^{2} \frac{A}{2}$ 。求 $A , B$ 及 $b , c$ 。

18．（本小题满分 12 分） 因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方 案都需分两年实施。若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0 倍、 0.9倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.3 , 0.3 , 0.4$ ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.25 倍、 1 .0 倍的概率分别是 $0.5 , 0.5$ 。若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2 倍、 1.0 倍、 0.8 倍的概率分别是 $0.2 , 0.3 , 0.5$ ；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的 1.2倍、 1.0 倍的概率分别是 $0.4 , 0.6$ ．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令 $\xi_{i}(i=1,2)$表示方案 $i$ 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数。 （1）写出 $\xi_{1} , \xi_{2}$ 的分布列； （2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ （3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为 10 万元、 15 万元、 20 万元。问实施哪种方案的平均利润更大？

19．（本小题满分 12 分） 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正整数，$a_{1}=3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 中，$b_{1}=1$ ，且 $b_{2} S_{2}=64,\left\{b_{n}\right\}$ 是公比为 64 的等比数列． （1）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ； （2）证明：$\frac{1}{S_{1}}+\frac{1}{S_{2}}+\cdots \cdots+\frac{1}{S_{n}}<\frac{3}{4}$ ．

20．（本小题满分 12 分） 正三棱锥 $O-A B C$ 的三条侧棱 $O A , O B , O C$ 两两垂直，且长度均为 $2 . E , F$ 分别是 $A B , A C$ 的中点， $H$ 是 $E F$ 的中点，过 $E F$ 的一个平面与侧棱 $O A , O B , O C$ 或其延长线分别相交于 $A_{1} , B_{1} , C_{1}$ ，已知 $O A_{1}=\frac{3}{2}$ ． （1）证明：$B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $O A H$ ；  （2）求二面角 $O-A_{1} B_{1}-C_{1}$ 的大小．

21．（本小题满分 12 分） 设点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在直线 $x=m(y \neq \pm m, 0<m<1)$ 上 ，过点 $P$ 作双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的两条切线 $P A , P B$ ，切点为 $A , B$ ，定点 $M\left(\frac{1}{m}, 0\right)$ ． （1）过点 $A$ 作直线 $x-y=0$ 的垂线，垂足为 $N$ ，试求 $\triangle A M N$ 的重心 $G$ 所在的曲线方程；  （2）求证：$A , M , B$ 三点共线．

22．（本小题满分 14 分） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{\frac{a x}{a x+8}}, x \in(0,+\infty)$ ． （1）当 $a=8$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间； （2）对任意正数 $a$ ，证明： $1<f(x)<2$ ．