2008 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）（2008 • 四川）已知全集 $\mathrm{U}=\{1,2,3,4,5\}$ ，集合 $\mathrm{A}=\{1,3\}, ~ \mathrm{~B}=\{3,4,5\}$ ，则集合 $C_{U}(A \cap B)=(\quad)$

2．（5 分）（2008 • 四川）复数 $2 \mathrm{i}(1+\mathrm{i})^{2}=(\quad)$

3．（5 分）（ $2008 \cdot$ 四川）$(\tan \mathrm{x}+\cot \mathrm{x}) \cos ^{2} \mathrm{x}=$（ ）

4．（5 分）（2008•四川）直线 $\mathrm{y}=3 \mathrm{x}$ 绕原点逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，再向右平移 1 个单位，所得到的直线为

5．（5分）（2008 • 四川）若 $0 \leq \alpha \leq 2 \pi, ~ \sin \alpha>\sqrt{3} \cos \alpha$ ，则 $\alpha$ 的取值范围是（）

6．（5分）（2008 • 四川）从甲、乙等 10 个同学中挑选 4 名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的挑选方法共有 A． 70 种B． 112 种 C． 140 种 D． 168 种

7．（5 分）（2008•四川）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，则其前 3 项的和 $S_{3}$ 的取值范围是（）

8．（5 分）（2008•四川）设 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 是球心 O 的半径 OP 上的两点，且 $\mathrm{NP}=\mathrm{MN}=\mathrm{OM}$ ，分别过 $\mathrm{N}, \mathrm{M}, \mathrm{O}$ 作垂线于 OP 的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）

9．（5分）（2008•四川）设直线 $\mathrm{l} \subset$ 平面 $\alpha$ ，过平面 $\alpha$ 外一点 A 与 $\mathrm{l}, \alpha$ 都成 $30^{\circ}$ 角的直线有且只有（ ）

10．（5 分）（2008 • 四川）设 $f(x)=\sin (\omega x+\phi)$ ，其中 $\omega>0$ ，则 $f(x)$ 是偶函数的充要条件是

11．（5 分）（ $2008 \bullet$ 四川）设定义在 R 上的函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \bullet \mathrm{f}(\mathrm{x}+2)=13$ ，若 $\mathrm{f}(1) =2$ ，则 $f(99)=$

12．（5 分）（2008 • 四川）已知抛物线 $\mathrm{C}: \mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}$ 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A在 C 上且 $|\mathrm{AK}|=\sqrt{2}|\mathrm{AF}|$ ，则 $\triangle \mathrm{AFK}$ 的面积为（ ）

13．（4分）$(2008 \bullet$ 四川 $)(1+2 \mathrm{x})^{3}(1-\mathrm{x})^{4}$ 展开式中 $\mathrm{x}^{2}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ － 6 ．

14．（4分）（2008•四川）已知直线 1： $\mathrm{x}-\mathrm{y}+4=0$ 与圆 $\mathrm{C}:(\mathrm{x}-1)^{2}+(\mathrm{y}-1)^{2}=2$ ，则 C 上各点到 1 的距离的最小值为 $\_\_\_\_$ ＿ $\sqrt{2}$。

15．（4分）（2008 • 四川）已知正四棱柱的对角线的长为 $\sqrt{6}$ ，且对角线与底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则该正四棱柱的体积等于 2 ．

16．（4分）（2008•四川）设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，若 $\mathrm{S}_{4} \geq 10, \mathrm{~S}_{5} \leq 15$ ，则 $\mathrm{a}_{4}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ 4。

17．（12 分）（2008 • 四川）求函数 $\mathrm{y}=7-4 \sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}+4 \cos ^{2} \mathrm{x}-4 \cos ^{4} \mathrm{x}$ 的最大值与最小值．

18．（ 12 分）（ $2008 \cdot$ 四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5 ，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。 （I）求进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （II）求进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （III）记 $\xi$ 表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 $\xi$ 的分布列及期望。

19．（12 分）（ 2008 • 四川）如，平面 $\mathrm{ABEF} \perp$ 平面 ABCD ，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{FAB}=90^{\circ}, \mathrm{BC}=\frac{/ / 1}{2} \mathrm{AD}, \mathrm{BE}=\frac{/ / 1}{2} \mathrm{AF}$ （I）证明： $\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{F}, \mathrm{E}$ 四点共面； （II）设 $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{BE}$ ，求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{ED}-\mathrm{B}$ 的大小。 

20．（12分）（2008•四川）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{ba}_{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}=(\mathrm{b}-1) \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ （I）证明：当 $b=2$ 时，$\left\{a_{n}-n \cdot 2^{n-1}\right\}$ 是等比数列； （II）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。

21．（12 分）（2008 • 四川）设椭圆 $\frac{\mathrm{x}^{2}}{\mathrm{a}^{2}}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{\mathrm{~b}^{2}}=1,(\{\mathrm{a}>\mathrm{b}>0\})$ 的左右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线为 $1, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 是 1 上的两个动点， $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{F}_{2} \mathrm{~N}}=0$ （I）若 $\left|\overrightarrow{F_{1} M}\right|=\left|\overrightarrow{F_{2} N}\right|=2 \sqrt{5}$ ，求 $a, b$ 的值； （II）证明：当 $|\mathrm{MN}|$ 取最小值时， $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{M}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{2} \mathrm{~N}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}}$ 共线． 

22．（14 分）（2008 • 四川）已知 $x=3$ 是函数 $f(x)=a \ln (1+x)+x^{2}-10 x$ 的一个极值点． （I）求 a ； （II）求函数 $f(x)$ 的单调区间； （III）若直线 $\mathrm{y}=\mathrm{b}$ 与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}$（ x ）的图象有 3 个交点，求 b 的取值范围．