2008 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5 分）（2008•四川）集合 $\mathrm{A}=\{-1,0,1\}$ ， A 的子集中，含有元素 0 的子集共有

2．（5 分）（2008 • 四川）函数 $y=\sqrt{1-x}+\operatorname{lgx}$ 的定义域为

3．（5 分）（2008 • 四川）$\left(1+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)(1+\mathrm{x}){ }^{4}$ 的展开式中含 $\mathrm{x}^{2}$ 的项的系数为

4．（5 分）（2008•四川）不等式 $|x-2|<1$ 的解集为

5．（5 分）（2008 • 四川）已知 $\tan \alpha=\frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\cos \alpha+\sin \alpha}{\cos \alpha-\sin \alpha}=$（）

6．（5 分）（2008•四川）一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）

7．（5 分）（2008 • 四川）若点 $P(2,0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，则双曲线的离心率为 

8．（5 分）（ $2008 \bullet$ 四川）在一次读书活动中，一同学从 4 本不同的科技书和 2 本不同的文艺书中任选 3 本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（）

9．（5 分）（2008－四川）过点（ 0,1 ）的直线与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（ ） 

10．（5 分）（2008 • 四川）已知两个单位向量 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{a}}+\lambda \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 与 $\lambda \overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 互相垂直的充要条件是（）

11．（5 分）（2008 • 四川）设函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 的图象关于直线 $\mathrm{x}=0$ 及直线 $\mathrm{x}=1$ 对称，且 $x \in[0,1]$ 时，$f(x)=x^{2}$ ，则 $f\left(-\frac{3}{2}\right)=$

12．（5 分）（2008•四川）在正方体 $\mathrm{ABCD}-\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{D}_{1}$ 中， E 是棱 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1}$ 的中点，则 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}$ 与 $\mathrm{D}_{1} \mathrm{E}$ 所成角的余弦值为（）

13．（4分）（2008•四川）函数 $\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}+1}-1(\mathrm{x} \in \mathrm{R})$ 的反函数为 $\_\_\_\_$ $\mathrm{y}=\ln (\mathrm{x}+1)-1(\mathrm{x}>-1)$。

14．（4 分）（2008 • 四川）函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin x-\cos ^{2} x$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ $-\sqrt{3}$。

15．（4 分）（2008 • 四川）设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，且 $\mathrm{S}_{5}=\mathrm{a}_{5}$ ．若 $\mathrm{a}_{4} \neq 0$ ，则 $\frac{\mathrm{a}_{7}}{\mathrm{a}_{4}}=3$ ．

16．（4分）（2008 • 四川）已知 $\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}, \mathrm{C}$ 为空间中一点，且 $\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=60^{\circ}$ ，则直线 OC 与平面 AOB 所成角的正弦值为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}-$ 。

17．（12 分）（2008•四川）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 对边的边长分别是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $a^{2}+c^{2}=2 b^{2}$ ． （I）若 $\mathrm{B}=\frac{\pi}{4}$ ，且 A 为钝角，求内角 A 与 C 的大小； （II）求 $\sin \mathrm{B}$ 的最大值。

18．（12 分）（2008 • 四川）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C类．检验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检，若发现其中含有 C 类产品或 2件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整。已知该生产线上生产的每件产品为 A类品， B 类品和 C 类品的概率分别为 $0.9,0.05$ 和 0.05 ，且各件产品的质量情况互不影响。 （I）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； （II）若检验员一天抽检 3 次，以 $\xi$ 表示一天中需要调整设备的次数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望。

19．（12 分）（ $2008 \bullet$ 四川）如图，一张平行四边形的硬纸片 $\mathrm{ABC}_{0} \mathrm{D}$ 中， $\mathrm{AD}=\mathrm{BD}=1$ ， $\mathrm{AB}=\sqrt{2}$ ．沿它的对角线 BD 把 $\triangle \mathrm{BDC}_{0}$ 折起，使点 $\mathrm{C}_{0}$ 到达平面 $\mathrm{ABC}_{0} \mathrm{D}$ 外点 C 的位置． （I）证明：平面 $\mathrm{ABC}_{0} \mathrm{D} \perp$ 平面 $\mathrm{CBC}_{0}$ ； （II）如果 $\triangle \mathrm{ABC}$ 为等腰三角形，求二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{BD}-\mathrm{C}$ 的大小。 

20．（12 分）（2008 ⋅ 四川）在数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中， $\mathrm{a}_{1}=1,2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}\right)^{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ． （I）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （II）令 $\mathrm{b}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}-\frac{1}{2} \mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ； （III）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 。

21．（12 分）（2008•四川）已知随圆 $\mathrm{C}_{1}$ 的中心和抛物线 $\mathrm{C}_{2}$ 的顶点都在坐标原点 $\mathrm{O}, \mathrm{C}_{1}$ 和 $\mathrm{C}_{2}$ 有公共焦点 F ，点 F 在 x 轴正半轴上，且 $\mathrm{C}_{1}$ 的长轴长、短轴长及点 F 到 $\mathrm{C}_{1}$ 右准线的距离成等比数列。 （I）当 $\mathrm{C}_{2}$ 的准线与 $\mathrm{C}_{1}$ 右准线间的距离为 15 时，求 $\mathrm{C}_{1}$ 及 $\mathrm{C}_{2}$ 的方程； （II）设过点 F 且斜率为 1 的直线 $l$ 交 $\mathrm{C}_{1}$ 于 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点，交 $\mathrm{C}_{2}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 两点．当 $|\mathrm{MN}|=8$ 时，求 $|\mathrm{PQ}|$ 的值．

22．（14 分）（ $2008 \bullet$ 四川）设函数 $f(x)=x^{3}-x^{2}-x+2$ ． （I）求 $f(x)$ 的单调区间和极值； （II）若当 $x \in[-1,2]$ 时，$-3 \leq a f(x)+b \leq 3$ ，求 $a-b$ 的最大值。