2012 地方卷 · 文 数学

复数（ $2+i)^{2}$ 等于

已知向量 $a=(x-1,2), b=(2,1)$ ，则 $a \perp b$ 的充要条件是

一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是
A 球
B 三棱锥
C 正方体
D 圆柱

8．函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的图像的一条对称轴是

9．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x>0 \\ 0 & x=0, g(x) \\ -1, & x<0\end{array}=\left\{\begin{array}{l}1 \quad x \text { 为有理数 } \\ 0, x \text { 为为无理数 }\end{array}\right.\right.$ ，则 $f(g(\pi))$ 的值为

10．若直线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 上存在点 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-3 \leq 0 \\ x-2 y-3 \leq 0 \\ x \geq m\end{array}\right.$ 则实数 m 的最大值为

11．数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=n \cos \frac{n \pi}{2}$ ，其前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{S}_{2012}$ 等于

12、已知 $f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-a b c, a<b<c$ ，且 $f(a)=f(b)=f(c)=0$ ．现给出如下结论：
①$f$（0）$f(1)>0$ ；②$f(0) f(1)<0$ ；③$f(0) f(3)>0$ ；④$f(0) f(3)<0$ ．其中正确结论的序号是

13．在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，已知 $\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}, \angle \mathrm{ABC}=45^{\circ}, B C=\sqrt{3}$ ，则 $\mathrm{AC}=$ $\_\_\_\_$

14．一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是 $\_\_\_\_$

15．已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2}-a x+2 a>0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

20．（本小题满分 13 分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1） $\sin ^{2} 13^{\circ}+\cos ^{2} 17^{\circ}-\sin 13^{\circ} \cos 17^{\circ}$
（2） $\sin ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}-\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$
（3） $\sin ^{2} 18^{\circ}+\cos ^{2} 12^{\circ}-\sin 18^{\circ} \cos 12^{\circ}$
（4） $\sin ^{2}\left(-18^{\circ}\right)+\cos ^{2} 48^{\circ}-\sin \left(-18^{\circ}\right) \cos 48^{\circ}$
（5） $\sin ^{2}\left(-25^{\circ}\right)+\cos ^{2} 55^{\circ}-\sin \left(-25^{\circ}\right) \cos 55^{\circ}$
I 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

II 根据（I）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论

22．（本小题满分 14 分）
已知函数 $f(x)=a x \sin x-\frac{3}{2}(a \in R)$ ，且在，$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的最大值为 $\frac{\pi-3}{2}$ ，
（1）求函数 $f(x)$ 的解析式；
（2）判断函数 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内的零点个数，并加以证明