2012 地方卷 · 理 数学

选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。

1．$(1+x)^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是

函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-9}{x-3}, x<3 \\ \ln (x-2), x \geq 3\end{array}\right.$ 在 $x=3$ 处的极限是（ ）

如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 1 ，延长 $B A$ 至 $E$ ，使 $A E=1$ ，连接 $E C , E D$ 则 $\sin \angle C E D=$

函数 $y=a^{x}-\frac{1}{a}(a>0, a \neq 1)$ 的图象可能是

下列命题正确的是

设 $\vec{a} , \vec{b}$ 都是非零向量，下列四个条件中，使 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 成立的充分条件是
A、 $\vec{a}=-\vec{b}$
B $, \vec{a} / / \vec{b}$
C、 $\vec{a}=2 \vec{b}$
D、 $\vec{a} / / \vec{b}$ 且 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$

已知抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在坐标原点 $O$ ，并且经过点 $M\left(2, y_{0}\right)$ 。若点 $M$ 到该

抛物线焦点的距离为 3 ，则 $|O M|=$（ ）

某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 $A$ 原料 1 千克、 $B$ 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 $A$ 原料 2 千克，$B$ 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 $A , B$ 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是

如图，半径为 $R$ 的半球 $O$ 的底面圆 $O$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $O$ 作平面 $\alpha$ 的垂线交半球面于点 $A$ ，过圆 $O$ 的直径 $C D$ 作平面 $\alpha$ 成 $45^{\circ}$ 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 $\alpha$

的距离最大的点为 $B$ ，该交线上的一点 $P$ 满足 $\angle B O P=60^{\circ}$ ，则 $A$ 、 $P$ 两点间的球面距离为

方程 $a y=b^{2} x^{2}+c$ 中的 $a, b, c \in\{-3,-2,0,1,2,3\}$ ，且 $a, b, c$ 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

设函数 $f(x)=2 x-\cos x,\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 $\frac{\pi}{8}$ 的等差数列， $f\left(a_{1}\right)+f\left(a_{2}\right)+\cdots+f\left(a_{5}\right)=5 \pi$,

则 $\left[f\left(a_{3}\right)\right]^{2}-a_{1} a_{5}=(\quad)$

如图，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$M , N$ 分别是棱 $C D , C C_{1}$的中点，则异面直线 $A_{1} M$ 与 $D N$ 所成角的大小是 $\_\_\_\_$。

椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $x=m$ 与椭圆相交于点 $A , B$ ，当 $\triangle F A B$ 的周长最大时，$\triangle F A B$ 的面积是 $\_\_\_\_$。

记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数，例如，$[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1$ 。设 $a$ 为正

整数，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=a, x_{n+1}=\left[\frac{x_{n}+\left[\frac{a}{x_{n}}\right]}{2}\right]\left(n \in N^{*}\right)$ ，现有下列命题：
①当 $a=5$ 时，数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的前 3 项依次为 $5,3,2$ ；

②对数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 都存在正整数 $k$ ，当 $n \geq k$ 时总有 $x_{n}=x_{k}$ ；
③当 $n \geq 1$ 时,$x_{n}>\sqrt{a}-1$ ；
④对某个正整数 $k$ ，若 $x_{k+1} \geq x_{k}$ ，则 $x_{n}=[\sqrt{a}]$ 。其中的真命题有 $\_\_\_\_$。（写出所有真命题的编号）

（本小题满分 12 分）
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$A$ 和 $B$ ，系统 $A$ 和 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$ 。
（I）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$ ，求 $p$ 的值；
（II）设系统 $A$ 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 $\xi$ ，求 $\xi$ 的概率分

布列及数学期望 $E \xi$ 。

（本小题满分 12 分）
函数 $f(x)=6 \cos ^{2} \frac{\omega x}{2}+\sqrt{3} \sin \omega x-3(\omega>0)$ 在一个周期内的图象如图所示，$A$ 为图象的最高点，$B , C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $\triangle A B C$ 为正三角形。
（I）求 $\omega$ 的值及函数 $f(x)$ 的值域；
（II）若＝$f\left(x_{0}\right)=\frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in\left(-\frac{10}{3}, \frac{2}{3}\right)$ ，求 $f\left(x_{0}+1\right)$ 的值。

（本小题满分 12 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} a_{n}=S_{2}+S_{n}$ 对一切正整数 $n$都成立。
（I）求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；
（II）设 $a_{1}>0$ ，数列 $\left\{\lg \frac{10 a_{1}}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，当 $n$ 为何值时，$T_{n}$ 最大？并求出 $T_{n}$ 的最大值。

（本小题满分 12 分）
如图，动点 $M$ 到两定点 $A(-1,0) , B(2,0)$ 构成
$\triangle M A B$ ，且 $\angle M B A=2 \angle M A B$ ，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ 。
（I）求轨迹 $C$ 的方程；
（II）设直线 $y=-2 x+m$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交

于点 $Q , R$ ，且 $|P Q|<|P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围。