2012 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．若复数 $z$ 满足 $z i=1-i$ ，则 $z$ 等于

2．等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}+a_{5}=10, a_{4}=7$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为

3．下列命题中，真命题是

4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是

5．下列不等式一定成立的是

6．如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ，则点 P 恰好取自阴影部分的概率为 

7．设函数 $D(x)=\left\{\begin{array}{l}1 \quad x \text { 为有理数 } \\ 0, x \text { 为为无理数 }\end{array}\right.$ ，则下列结论错误的是

8．已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的右焦点与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=12 \mathrm{x}$ 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

9．若直线 $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}$ 上存在点 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-3 \leq 0 \\ x-2 y-3 \leq 0 \\ x \geq m\end{array}\right.$ ，则实数 m 的最大值为

10．函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上有定义，若对任意 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \in[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ ，有 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) \leq \frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)\right]$则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上具有性质 $P$ 。设 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上具有性质 $P$ ，现给出如下命题： ①$f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的图像是连续不断的； ②$f(x)$ 在 $[1, \sqrt{3}]$ 上具有性质 $P$ ； ③若 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=2$ 处取得最大值 1 ，则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=1, \mathrm{x} \in[1,3]$ ； ④对任意 $\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{x}_{3}, \mathrm{x}_{4} \in[1,3]$ ，有 $f\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}\right) \leq \frac{1}{2}\left[f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)+f\left(x_{3}\right)+f\left(x_{4}\right)\right]$其中真命题的序号是

11．$(a+x)^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数等于 8 ，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$

12．阅读右图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的 s 值等于 $\_\_\_\_$ 

13．已知 $\triangle A B C$ 得三边长成公比为 $\sqrt{2}$ 的等比数列，则其最大角的余弦值为 $\_\_\_\_$ ．

14．数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=n \cos \frac{n \pi}{2}+1$ ，前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，则 $\mathrm{S}_{2012}=$ $\_\_\_\_$

15．对于实数 a 和 b ，定义运算＂$*$＂：$a * b=\left\{\begin{array}{l}a^{2}-a b,(a \leq b), \\ b^{2}-a b,(a>b),\end{array}\right.$ 设 $f(x)=(2 x-1) *(x-1)$ ，且关于 $x$ 的方程为 $f(x)=m(m \in R)$ 恰有三个互不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $ f(x)= \begin{cases}(2 x-1)^{2}-(2 x-1)(x-1), & 2 x-1 \leq x-1 \\ (x-1)^{2}-(2 x-1)(x-1), & 2 x-1>x-1\end{cases} $

16．（本小题满分 13 分） 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下： | 品牌 | 甲 | | | 乙 | | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 首次出现故障的时间 x （年） | $0<x \leq 1$ | $1<x \leq 2$ | $x>2$ | $0<x \leq 2$ | $x>2$ | | 轿车数量（辆） | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 | | 每辆利润（万元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 | 将频率视为概率，解答下列问题： （I）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率； （II）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 $\mathrm{X}_{1}$ ，生产一辆乙品牌轿车的利润为 $\mathrm{X}_{2}$ ，分别求 $\mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}$ 的分布列 ； （III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由。

18．（本小题满分 13 分） 如图，在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A A_{1}=A D=1, E$ 为 $C D$ 中点。 （ I ）求证：B1E ⟂ AD1； （II）在棱 AA1 上是否存在一点 P，使得 DP／／平面 B 1AE？若存在，求 AP 的行；若存在，求 AP 的长；若不存在，说明理由。 （III）若二面角 $A-B_{1} E A_{1}$ 的大小为 $30^{\circ}$ ，求 $A B$ 的长

19．。（本小题满分 13 分） 如图，椭圆 $\mathrm{E}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 F 1 ，右焦点为 F 2 ，离心率 $e=\frac{1}{2}$ 。过 F 1 的直线交椭圆于 $A , B$ 两点，且 $\triangle A B F 2$ 的周长为 8  （I）求椭圆 E 的方程。 （II）设动直线 I： $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{m}$ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ，且与直线 $\mathrm{x}=4$ 相较于点 Q 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 $M$ ，使得以 $P Q$ 为直径的圆恒过点 $M$ ？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，说明理由