2012 地方卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）复数 z 满足 $(z-i) i=2+i$ ，则 $z=(\quad)$

（2）设集合 $A=\{x \mid-3 \leq 2 x-1 \leq 3\}$ ，集合 $\mathrm{B}^{\text {为函数 } y=\lg (x-1) \text { 的定义域，则 } A \cap B=10}$

（3）$\left(\log _{2} 9\right) \cdot\left(\log _{3} 4\right)=(\quad)$

（4）命题＂存在实数 $x$ ，使 $x>1$＂的否定是（）

（5）公比为 2 的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项都是正数，且 $a_{3} a_{11}=16$ ，则 $a_{5}=()$

（6）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） 

（7）要得到函数 $y=\cos (2 x+1)$ 的图象，只要将函数 $y=\cos 2 x$ 的图象（ ）

（8）若 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x+2 y \geq 3 \\ 2 x+y \leq 3\end{array}\right.$ 则 $z=x-y$ 的最小值是

（9）若 直线 $x-y+1=0$ 与圆 $(x-a)^{2}+y^{2}=2$ 有公共点，则实数 $a$ 取值范围是

（10）袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于

（11）设向量 $a=(1,2 m), b=(m+1,1), c=(2, m)$ ．若 $(a+c) \perp b$ ，则 $|a|=$ $b$ ，则 $|a|=$ $\_\_\_\_$ ．

（12）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于 $\_\_\_\_$ ．

（13）若函数 $f(x)=|2 x+a|$ 的单调递增区间是 $[3,+\infty)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

（14）过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $F$ 的直线交该抛物线于 $A, B$ 两点，若 $|A F|=3$ ，则 $|B F|=$ $\_\_\_\_$

（15）若四面体 $A B C D$ 的三组对棱分别相等，即 $A B=C D, A C=B D, A D=B C$ ，则 －（写出所有正确结论编号） （1）四 面体 $A B C D$ 每组对棱相互垂直 （2）四面体 $A B C D$ 每个面的面积相等 （3）从四面体 $A B C D$ 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 $90^{\circ}$ 而小于 $180^{\circ}$ （4）连接四面体 $A B C D$ 每组对棱中点的线段互垂直平分 （5）从四面体 $A B C D$ 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

（16）（本小题满分 12 分） 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A , B , C$ 所对边的长分别为 $a , \mathrm{~b} , \mathrm{c}$ ，且有 $2 \sin B \cos A=\sin A \cos C+\cos A \sin C$ （I）求角 A 的大小； （II）若 $b=2, c=1, D$ 为 $B C$ 的中点，求 $A D$ 的长。

（17）（本小题满分 12 分）。 设定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)=a x+\frac{1}{a x}+b(a>0)$ （I）求 $f(x)$ 的最小值； （II）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=\frac{3}{2} x$ ，求 $a, b$ 的值。

（18）（本小题满分 13 分） 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5000 件进行检测，结果发现有 50 件不合格品。计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差（单位： mm ），将所得数据分组，得到如下频率分布表： | 分组 | 频数 | 频率 | | :--- | :--- | :--- | | ［－3，－2） | | 0.10 | | ［－2，－1） | 8 | | | （1，2］ | | 0.50 | | （2，3］ | 10 | | | （3，4］ | | | | 合计 | 50 | 1． 00 | （I）将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置； （II）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（ 1,3 ］内的概率； （III）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有 20 件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。

（19）（本小题满分 12 分） 如图，长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方形，$O$ 是 $B D$ 的中点，$E$是棱 $A A_{1}$ 上任意一点。 （ I）证明：$B D \perp E C_{1}$ ； （II）如果 $A B=2, A E=\sqrt{2}, O E \perp E C_{1}$ ，求 $A A_{1}$ 的长。  20．（本小题满分 13 分）

（21）（本小题满分 13 分） 设函数 $f(x)=\frac{x}{2}+\sin x$ 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 $\left\{x_{n}\right\}$ ． （I）求数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式． （II）设 $\left\{x_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $\sin S_{n}$ ．