2012 地方卷 · 文 数学

设函数 $f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=-x^{2}+b x$ ．若 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有且仅有两个不同的公共点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则下列判断正确的是

若函数 $f(x)=a^{x}(a>0, a \neq 1)$ 在 $[-1,2]$ 上的最大值为 4 ，最小值为 $m$ ，且函数 $g(x)=(1-4 m) \sqrt{x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上是增函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

（18）（本小题满分 12 分）

袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 $1,2,3$ ；蓝色卡片两张，标号分别为 1,2 ．
（I）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率；
（II）现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率。

（20）（本小题满分 12 分）

已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 5 项和为 105 ，且 $a_{20}=2 a_{5}$ ．
（I）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）对任意 $m \in \mathbf{N}^{*}$ ，将数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中不大于 $7^{2 m}$ 的项的个数记为 $b_{m}$ 。求数列 $\left\{b_{m}\right\}$ 的前 $m$ 项和 $S_{m}$.

（22）（本小题满分 13 分）

已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+k}{\mathrm{e}^{x}}$（ $k$ 为常数， $\mathrm{e}=2.71828 \ldots$ 是自然对数的底数），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行．
（I）求 $k$ 的值；
（II）求 $f(x)$ 的单调区间；
（III）设 $g(x)=x f^{\prime}(x)$ ，其中 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数．证明：对任意 $x>0, g(x)<1+\mathrm{e}^{-2}$ ．