2012 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．若集合 $A=\{-1,1\}, B=\{0,2\}$ ，则集合 $\{z \mid z=x+y, x \in A, y \in B\}$ 中的元素的个数为

2．下列函数中，与函数 $\mathrm{y}=\frac{1}{\sqrt[3]{\mathrm{x}}}$ 定义域相同的函数为

3．若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{l}x 2+1, x \leq 1 \\ \lg x, x>1\end{array}\right.$ ，则 $\mathrm{f}(\mathrm{f}(10)=$

4．若 $\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4$ ，则 $\sin 2 \theta=$

5．下列命题中，假命题为

6．观察下列各式：$a+b=1, ~ a^{2^{2}}+b^{2}=3, ~ a^{3}+b^{3}=4, ~ a^{4}+b^{4}=7, a^{5}+b^{5}=11, \cdots$ ，则 $a^{10}+b^{10}=$

7．在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 $\frac{|P A|^{2}+|P B|^{2}}{|P C|^{2}}=$

8．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 | | 年产量／亩 | 年种植成本／亩 | 每吨售价 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 黄瓜 | 4 吨 | 1.2 万元 | 0.55 万元 | | 韭菜 | 6 吨 | 0.9 万元 | 0.3 万元 | 为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入－总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为

9．样本 $\left(x_{1}, x_{2} \cdots, x_{n}\right)$ 的平均数为 $x$ ，样本 $\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)$ 的平均数为 $\bar{y}(\bar{x} \neq \bar{y})$ 。若样本 $\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \cdots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}, \mathrm{y}_{1}, \mathrm{y}_{2}, \cdots, \mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right)$ 的平均数 $\overline{\mathrm{z}}=\mathrm{a} \overline{\mathrm{x}}+(1-\mathrm{a}) \overline{\mathrm{y}}$ ，其中 $0<\mathrm{a}<\frac{1}{2}$ ，则 $\mathrm{n}, \mathrm{m}$ 的大小关系为

10．如图，已知正四棱锥 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 所有棱长都为 1 ，点 E 是侧棱 SC 上一动点，过点 E 垂直于 $S C$ 的截面将正四棱锥分成上、下两部分。记 $S E=x(0<x<1)$ ，截面下面部分的体积为 $V$ （ $x$ ），则函数 $y=V(x)$ 的图像大致为   A  B  C  D

11．计算定积分 $\int_{-1}^{1}\left(x^{2}+\sin x\right) d x=$ $\_\_\_\_$。

12．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 都是等差数列，若 $a_{1}+b_{1}=7, a_{3}+b_{3}=21$ ，则 $a_{5}+b_{5}=$ $\_\_\_\_$。

15．（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线 C 的直角坐标方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{x}=0$ ，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 $\_\_\_\_$。

15．（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式 $|2 x-1|+|2 x+1| \leqslant 6$ 的解集为 $\_\_\_\_$。

16．（本小题满分 12 分） 已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和 $S_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}+\mathrm{kn}$（其中 $\mathrm{k} \in N$ ），且 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 的最大值为 8 ． （1）确定常数 k ，求 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$ ；（2）求数列 $\left\{\frac{9-2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}}}\right\}$ 的前 n 项和 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ 。

17．（本小题满分 12 分） 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 。已知 $A=\frac{\pi}{4}$ ， $b \sin \left(\frac{\pi}{4}+C\right)-c \sin \left(\frac{\pi}{4}+B\right)=a$ （1）求证：$B-C=\frac{\pi}{2}$（2）若 $\mathrm{a}=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积。

18．（本题满分 12 分） 如图，从 $\mathrm{A}_{1}(1,0,0), \mathrm{A}_{2}(2,0,0), \mathrm{B}_{1}(0,1,0), \mathrm{B}_{2}(0,2,0), \mathrm{C}_{1}(0,0,1), \mathrm{C}_{2}(0,0,2)$ 这 6个点中随机选取 3 个点，将这 3 个点及原点 O 两两相连构成一个＂立体＂，记该＂立体＂的体积为随机变量 V （如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内，此时＂立体＂的体积 $\mathrm{V}=0$ ）。  （1）求 $V=0$ 的概率；（2）求 $V$ 的分布列及数学期望 $E V$ 。

19．（本题满分 12 分）在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B=A C=A A_{1}=\sqrt{5}, B C=4$ ，点 $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 的投影是线段 $B C$ 的中点 $O$ 。  （1）证明在侧棱 $\mathrm{AA}_{1}$ 上存在一点 E ，使得 $\mathrm{OE} \perp$ 平面 $\mathrm{BB}_{1} \mathrm{C}_{1} \mathrm{C}$ ，并求出 AE 的长； （2）求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 ${B B_{1}} C_{1} C$ 夹角的余弦值。

20．（本题满分 13 分） 已知三点 $O(0,0), A(-2,1), B(2,1)$ ，曲线 $C$ 上任意一点 $M(x, y)$ 满足 $\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=\overrightarrow{O M} \cdot(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})+2$ ．求曲线 C 的方程；（2）动点 $\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)\left(-2<\mathrm{x}_{0}<2\right)$ 在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为 L ，问：是否存在定点 $\mathrm{P}(0, \mathrm{t})(\mathrm{t}<0)$ ，使得 L 与 PA ， $P B$ 都相交，交点分别为 $D, E$ ，且 $\triangle Q A B$ 与 $\triangle P D E$ 的面积之比是常数？若存在，求 $t$ 的值。若不存在，说明理由。

21．（本小题满分 14 分）若函数 $h(x)$ 满足 （1）$h(0)=1, h(1)=0$ ； （2）对任意 $a \in[0,1]$ ，有 $\mathrm{h}(\mathrm{h}(\mathrm{a}))=\mathrm{a}$ ； （3）在 $(0,1)$ 上单调递减。 则称 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 为补函数。已知函数 $h(x)=\left(\frac{1-x^{p}}{1+\lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}(\lambda>-1, p>0)$ 。 （1）判断函数 $h(x)$ 是否为补函数，并证明你的结论； （2）若存在 $m \in[0,1]$ ，使得 $h(m)=m$ ，若 $m$ 是函数 $h(x)$ 的中介元，记 $p=\frac{1}{n}(n \in N)$ 时 $h(x)$的中介元为 $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}$ ，且 $S_{\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{n}-1}^{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{1}$ ，若对任意的 $n \in N_{+}$，都有 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}<\frac{1}{2}$ ，求 $\lambda$ 的取值范围； （3）当 $\lambda=0, x \in(0,1)$ 时，函数 $\mathrm{y}=\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 的图像总在直线 $\mathrm{y}=1-\mathrm{x}$ 的上方，求 P 的取值范围。