2012 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．方程 $x^{2}+6 x+13=0$ 的 一个根是 A $-3+2 i$ B 3＋2i C $\quad-2+3 \mathrm{i}$ D $\quad 2+3 i$

2．命题＂$\exists \mathrm{x}_{0} \in \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}, \quad x_{0}^{3} \in \mathrm{Q}$＂的否定是 A $\quad \exists \mathrm{x}_{0} \notin \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}, \quad x_{0}^{3} \in \mathrm{Q}$ B $\exists \mathrm{x}_{0} \in \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}, x_{0}^{3} \notin \mathrm{Q}$ C $\forall \mathrm{x}_{0} \notin \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}, \quad x_{0}^{3} \in \mathrm{Q}$ D $\forall \mathrm{x}_{0} \in \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}, x_{0}^{3} \notin \mathrm{Q}$

3．已知二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图像如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为（  第 3 题图

4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为  A．$\frac{8 \pi}{3}$ C．$\frac{10 \pi}{3}$ D． $6 \pi$

5．设 $a \in Z$ ，且 $0 \leqslant a \leqslant 13$ ，若 $51^{2012}+a$ 能被 13 整除，则 $a=$（ ）

6．设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 是正数，且 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=10, \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=40, \mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}=20$ ，则 $\frac{a+b+c}{x+y+z}=($ A．$\frac{1}{4}$ B．$\frac{1}{3}$ C．$\frac{1}{2} \mathrm{D}, \frac{3}{4}$

7．定义在 $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$ 上的函数 $f(x)$ ，如果对于任意给定的等比数列 $\left\{a_{n}\right\},\{f \left.\left(a_{n}\right)\right\}$ 仍是等比数列，则称 $f(x)$ 为＂保等比数列函数＂。现有定义在 $(-\infty, 0) \cup(0,+ \infty)$ 上的如下函数：① $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}$ ；② $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{x}}$ ；③$f(x)=\sqrt{|x|}$ ；④ $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\ln |\mathrm{x}|$ 。 则其中是＂保等比数列函数＂的 $f(x)$ 的序号为（ ）

8．如图，在圆心角为直角的扇形 $O A B$ 中，分别以 $O A, O B$ 为直径作两个半圆。在扇形 $O A B$内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）  第8题图

9．函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=x \cos x^{2}$ 在区间 $[0,4]$ 上的零点个数为（ ）

10．我国古代数学名著《九章算术》中＂开立圆术＂曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，＂开立圆术＂相当于给出了已知球的体积 V ，求其直径 d 的一个近似公式 $d \approx \sqrt[3]{\frac{16}{9} V}$ 。人们还用过一些类似的近似公式。根据 $\mathrm{x}=3.14159 \ldots .$. 判断，下列近似公式中最精确的一个是

11．设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ ，所对的边分别是 $a, b$ ，c．若（a＋b－c）（a＋b＋c）$=a b$ ，则角 $\mathrm{C}=$ $\_\_\_\_$ ．

12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 $\mathrm{s}=$ $\_\_\_\_$ ．  第 12 影图  第14题图

13．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如 $22,, 11,3443,94249$ 等。显然 2位回文数有 9 个： $11,22,33 \cdots, 99.3$ 位回文数有 90 个： $101,111,121, \cdots, 191,202, \cdots, 999$ ．则 （ I ） 4 位回文数有 $\_\_\_\_$个； （II） $2 n+1\left(n \in N_{+}\right)$位回文数有 $\_\_\_\_$个。

14．如图，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 的两顶点为 $\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}$ ，虚轴两端点为 $\mathrm{B} 1, \mathrm{~B} 2$ ，两焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ．若以 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆内切于菱形 $F_{1} B_{1} F_{2} B_{2}$ ，切点分别为 $A, B, C, D$ 。则 （I）双曲线的离心率 $\mathrm{e}=$ $\_\_\_\_$ ； （II）菱形 $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~F}_{2} \mathrm{~B}_{2}$ 的面积 $\mathrm{S}_{1}$ 与矩形 ABCD 的面积 $\mathrm{S}_{2}$ 的比值 $\frac{S_{1}}{S_{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

15．（选修 4－1：几何证明选讲） 如图，点 D 在 $\odot \mathrm{O}$ 的弦 AB 上移动， $\mathrm{AB}=4$ ，连接 OD ，过点 D 作 OD 的垂线交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 C ，则 $C D$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．  第 15 题图

16．（选修 4－4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线 $\theta=\frac{\pi}{4}$与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=t+1, \\ y=(t-1)^{2}\end{array}\right.$（ t 为参数）相较于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 来两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 $\_\_\_\_$ ．

17．（本小题满分 12 分） 已知向量 $\boldsymbol{a}=(\cos \omega x-\sin \omega x, \sin \omega x), \quad \boldsymbol{b}=(-\cos \omega x-\sin \omega x, 2 \sqrt{3} \cos \omega x)$ ，设函数 $f(x)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\lambda(x \in \mathbf{R})$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 对称，其中 $\omega, \lambda$ 为常数，且 $\omega \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ． （1）求函数 $f(x)$ 的最小正周期； （2）若 $y=f(x)$ 的图像经过点 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ ，求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{3 \pi}{5}\right]$ 上的取值范围．

18．（本小题满分 12 分） 已知等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 前三项的和为 -3 ，前三项的积为 8 ． （1）求等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式； （2）若 $a_{2}, a_{3}, a_{1}$ 成等比数列，求数列 $\left\{\left|a_{n}\right|\right\}$ 的前 $n$ 项的和．

19．（本小题满分 12 分） 如图 1，$\angle A C B=45^{\circ}, ~ B C=3$ ，过动点 $A$ 作 $A D \perp B C$ ，垂足 $D$ 在线段 $B C$ 上且异于点 $B$ ，连接 $A B$ ，沿 $A D$ 将 $\triangle A B D$ 折起，使 $\angle B D C=90^{\circ}$（如图 2 所示）， ①当 BD 的长为多少时，三棱锥 $\mathrm{A}-\mathrm{BCD}$ 的体积最大； ②当三棱锥 $A-B C D$ 的体积最大时，设点 $E, M$ 分别为棱 $B C, A C$ 的中点，试在棱 $C D$ 上确定一点 $N$ ，使得 $E N \perp B M$ ，并求 $E N$ 与平面 $B M N$ 所成角的大小  图1  图2 第19起图

20．（本小题满分 12 分） 根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位： mm ）对工期的影响如下表： | 降水量X | $X<300$ | $300 \leqslant X<700$ | $700 \leqslant X<900$ | $\mathrm{X} \geqslant 900$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | 工期延误天数Y | 0 | 2 | 6 | 10 | 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于 $300,700,900$ 的概率分别为 0.3 ， $0.7,0.9$ ，求： （I）工期延误天数 $Y$ 的均值与方差； （II）在降水量X至少是 300 的条件下，工期延误不超过 6 天的概率。

22．（本小题满分 14 分） （1）已知函数 $f(x)=r x-x^{r}+(1-r)(x>0)$ ，其中 $r$ 为有理数，且 $0<r<1$ ．求 $f(x)$ 的最小值； （II）试用（I）的结果证明如下命题： 设 $\mathrm{a}_{1} \geqslant 0, \mathrm{a}_{2} \geqslant 0, \mathrm{~b}_{1}, \mathrm{~b}_{2}$ 为正有理数，若 $\mathrm{b}_{1}+\mathrm{b}_{2}=1$ ，则 $\mathrm{a}_{1}{ }^{\mathrm{b} 1} \mathrm{a}_{2}{ }^{\mathrm{b} 2} \leqslant \mathrm{a}_{1} \mathrm{~b}_{1}+\mathrm{a}_{2} \mathrm{~b}_{2}$ ； （III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。注：当 a为正有理数时，有求道公式 $\left(x^{\alpha}\right)^{r}=\alpha x^{\alpha-1}$