2012 地方卷 · 理 数学

设集合 $M=\{-1,0,1\}, N=\left\{x \mid x^{2} \leq x\right\}$ ，则 $M \cap N=(\quad)$

命题＂若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$ ，则 $\tan \alpha=1$＂的逆否命题是

某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是

图1

A

B

C

D

设某大学的女生体重 $y$（单位：$k g$ ）与身高 $x$（单位：$c m$ ）具有线性相关关系，根据

一组样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat{y}=0.85 x-85.71$ ，则下列结论不正确的是

已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的焦距为 10 ，点 $P(2,1)$ 在 $C$ 的渐近线上，则 $C$ 的方程为

函数 $f(x)=\sin x-\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值域为

在 $\triangle A B C$ 中，$A B=2, A C=3, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=1$ ，则 $B C=$

已知两条直线 $l_{1}: y=m$ 和 $l_{2}: y=\frac{8}{2 m+1}(m>0), l_{1}$ 与函数 $y=\left|\log _{2} x\right|$ 的图象从左至右相交于点 $A, B, l_{2}$ 与函数 $y=\left|\log _{2} x\right|$ 的图象从左至右相交于点 $C, D$ ，记线段 $A C$ 和 $B D$ 在 $x$ 轴上的投影长度分别为 $a, b$ ．当 $m$ 变化时，$\frac{b}{a}$ 的最小值为

在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=t+1 \\ y=1-2 t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数）与曲线 $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=a \sin \theta \\ y=3 \cos \theta\end{array}\right.$ （ $\theta$ 为参数，$a>0$ ）有一个公共点在 $x$ 轴上，则 $a=$

不等式 $|2 x+1|-2|x-1|>0$ 的解集为

如图 2，过点 P 的直线与 $\odot O$ 相交于 $A, B$ 两点．若 $P A=1, A B=2, P O=3$ ，则 $\odot O$ 的半径等于 $\_\_\_\_$。

園2

已知复数 $z=(3+i)^{2}$（ $i$ 为虚数单位），则 $|z|=$ $\_\_\_\_$。

$\left(2 \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{6}$ 的二项展开式中的常数项为 $\_\_\_\_$。（用数字作答）

如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 $x=-1, n=3$ ，则输出的数 $S=$ $\_\_\_\_$。

图3

图3

函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的导函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的部分图象如图 4 所示，其中，$P$ 为图象与 $y$ 轴的交点，$A, C$ 为图象与 $x$ 轴的两个交点，$B$ 为图象的最低点。
（1）若 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ ，点 $P$ 的坐标为 $\left(0, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$ ，则 $\omega=$ $\_\_\_\_$ ；
（2）若在曲线段 $\overparen{A B C}$ 与 $x$ 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在 $\triangle A B C$ 内的概率为 $\_\_\_\_$。

设 $N=2^{n}\left(n \in N^{*}, n \geq 2\right)$ ，将 $N$ 个数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}$ 依次放入编号为 $1,2, \cdots, N$的 $N$ 个位置，得到排列 $P_{0}=x_{1} x_{2} \cdots x_{N}$ 。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前 $\frac{N}{2}$ 和后 $\frac{N}{2}$ 个位置，得到排列 $P_{1}=x_{1} x_{3} \cdots x_{N-1} x_{2} x_{4} \cdots x_{N}$ ，将此操作称为 $C$ 变换。将 $P_{1}$ 分成两段，每段 $\frac{N}{2}$ 个数，并对每段作 $C$ 变换，得到 $P_{2}$ ；当 $2 \leq i \leq n-2$ 时，将 $P_{i}$ 分成 $2^{i}$ 段，每段 $\frac{N}{2^{i}}$ 个数，并对每段作 $C$ 变换，得到 $P_{i+1}$ ，例如，当 $N=8$ 时，$P_{2}=x_{1} x_{5} x_{3} x_{7} x_{2} x_{6} x_{4} x_{8}$ ，此时 $x_{7}$ 位于 $P_{2}$ 中的第 4 个位置。
①当 $N=16$ 时，$x_{7}$ 位于 $P_{2}$ 中的第 $\_\_\_\_$个 位置；
②当 $N=2^{n}(n \geq 8)$ 时，$x_{173}$ 位于 $P_{4}$ 中的第 $\_\_\_\_$个位置。

（本小题满分 12 分）
已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，记 $A(n)=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ，
$B(n)=a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n+1}$
$C(n)=a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{n+2}, \quad n=1,2, \cdots$.
（I）若 $a_{1}=1, a_{2}=5$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，三个数 $A(n), B(n), C(n)$ 组成等差数列，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列的充分必要条件是：对任意 $n \in N^{*}$ ，三个数 $A(n), B(n), C(n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列．

（本小题满分 13 分）
某企业接到生产 3000 台某产品的 $A, B, C$ 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2， 1 （单位：件）．已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件，或 B 部件 3 件，或 C部件 2 件。该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件，生产 B 部件的人数与

生产 A 部件的人数成正比，比例系数为 $k$（ $k$ 为正整数）．
（I）设生产 A 部件的人数为 $x$ ，分别写出完成 $A, B, C$ 三种部件生产需要的时间；
（II）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 $k$ 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案。

（本小题满分 13 分）
在直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 上的点均在圆 $C_{2}:(x-5)^{2}+y^{2}=9$ 外，且对 $C_{1}$ 上任意一点 $M, M$ 到直线 $x=-2$ 的距离等于该点与 $C_{2}$ 上点的距离的最小值。
（1）求曲线 $C_{1}$ 的方程；
（II）设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y_{0} \neq \pm 3\right)$ 为 $C_{2}$ 外一点，过 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的两条切线，分别与曲线 $C_{1}$ 相交于点 $A, B$ 和 $C, D$ ，证明：当 $P$ 在直线 $x=-4$ 上运动时，四点 $A, B, C, D$ 的纵坐标之积为定值。

（本小题满分 13 分）
已知函数 $f(x)=e^{a x}-x$ ，其中 $a \neq 0$ ．
（1）若对一切 $x \in R, f(x) \geq 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合；
（II）在函数 $f(x)$ 的图象上取定两点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right), B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)\left(x_{1}<x_{2}\right)$ ，记直线 $A B$ 的斜率为 $k$ 。问：是否存在 $x_{0} \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>k$ 成立？若存在，求 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．