2013 浙江卷 数学

（5分）（2013•浙江）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ${ \frac { 9 } { 5 } } ,$ ，则（　　）

A $\mathrm { \tt a } { = } 4$ B．a=5 C．a=6 D $\mathbf { a } { = } 7$

考点： 程序框图

专题： 图表型

分析： 根据已知流程图可得程序的功能是计算 $\mathbf { S } ^ { = 1 + } \frac { 1 } { 1 \times 2 } + \ldots + \frac { 1 } { \bar { \mathbf { a } } \mathbf { \Sigma } ( \bar { \mathbf { a } } + 1 ) }$ 的值，利用裂项相消法易得答案

（4分）（2013•浙江）设 $\scriptstyle { \mathbf { Z } } ^ { = } \mathbf { k } \mathbf { X } ^ { + } \mathbf { y }$ ，其中实数 x，y 满足 $\left\{ { \begin{array} { l } { \mathbf { x } + \mathbf { y } - 2 \mathbf { \geqslant } 0 } \\ { \mathbf { x } - 2 \mathbf { y } + 4 \mathbf { \geqslant } 0 } \\ { 2 \mathbf { x } - \mathbf { y } - 4 \mathbf { \leqslant } 0 } \end{array} } \right.$ ，若 z的最大值为12，则实数k= 2

考点： 简单线性规划

专题： 不等式的解法及应用

分析： 先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案

（4分）（2013•浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有　480种（用数字作答）

考点： 排列、组合及简单计数问题

专题： 概率与统计

分析： 按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可

（4 分）（2013•浙江） $\triangle \mathrm { A B C }$ 中， $\angle C { = } 9 0 ^ { \circ }$ ，M是BC的中点，若 $\sin \angle B A M = \frac { 1 } { 3 } ,$ 则 $\sin \angle B A C = - \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } -$

考点： 正弦定理

专题： 压轴题；解三角形

$ \triangle \mathrm { A B M } $

$ \cos \beta = \frac { b } { \sqrt { ( \frac { a } { 2 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } , $

$ \sin \angle A M B = \frac { 2 c } { 3 a } , $

$ \scriptstyle \mathbf { a } = { \sqrt { 2 } } \mathbf { b } $

$ \displaystyle \cos \beta { = } \frac { 2 c } { 3 a } , $

$ \operatorname { R T } \triangle \operatorname { A C M } $

$ \mathsf { c } { = } \sqrt { 3 } \mathsf { b } $

$ \sin \angle B A C = \frac { B C } { A B } = $

$ { \frac { a } { c } } , $

（15分）（2013•浙江）如图，在四面体A﹣BCD 中，AD⊥平面BCD， $B C \bot C D$ ,AD=2, $\mathtt { B D = 2 } \sqrt { 2 } .$ ．M 是 AD的中点，P是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ=3QC

（1）证明：PQ∥平面 BCD；

（2）若二面角C﹣BM﹣D 的大小为60°，求∠BDC的大小

考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定

专题： 计算题；空间位置关系与距离；空间角

分析： （1）取BD的中点O，在线段CD 上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ．根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF 是平行四边形，从而 PQ∥OF，再由线面平行判定定理，证出 PQ∥平面 BCD；

> （2）过点C 作CG⊥BD，垂足为G，过G 作GH⊥BM于 H，连接CH．根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH，因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D 的平面角，可得 $\angle C \mathrm { H G } { = } 6 0 ^ { \circ }$ ．设 $\angle \mathrm { B D C = } \Theta$ ，用解直角三角形的方法算出 HG 和 CG 关于 θ 的表达式，最后在 Rt△CHG 中，根据正切的定义得出 $\tan \angle C \mathrm { H G } = \frac { C G } { G \mathrm { H } } = \sqrt { 3 } ,$ ，从而得到 $\tan \theta = { \sqrt { 3 } } ,$ ，由此可得∠BDC