2013 地方卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）（2013•广东）设集合 $M=\left\{x \mid x^{2}+2 x=0, x \in R\right\}, N=\left\{x \mid x^{2}-2 x=0, x \in R\right\}$ ，则 $M \cup N=$
A $\{0\}$
B $\{0,2\}$
C $\{-2,0\}$
D $\{-2,0,2\}$

2．（5分）（2013 • 广东）定义域为 R 的四个函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{3}, \mathrm{y}=2^{\mathrm{x}}, \mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+1, \mathrm{y}=2 \sin \mathrm{x}$ 中，奇函数的个数是
A 4
B 3
C 2
D 1

3．（5分）（2013•广东）若复数 z 满足 $\mathrm{iz}=2+4 \mathrm{i}$ ，则在复平面内， z 对应的点的坐标是
A $(2,4)$
B
（2，－4）
C
（4，－2）
D $(4,2)$

4．（5分）（ 2013 •广东）已知离散型随机变量X的分布列为

则 X 的数学期望 $\mathrm{E}(\mathrm{X})=$
A $\frac{3}{2}$
B 2
C $\frac{5}{2}$
D 3

5．（5分）（2013•广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是

正视图

侧视图

俯视图

A 4
B $\frac{14}{3}$
C $\frac{16}{3}$
D 6

6．（5分）（2013•广东）设 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 是两条不同的直线，$\alpha, \beta$ 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 $A$ 若 $\alpha \perp \beta, m \subset \alpha, B$ 若 $\alpha \| \beta, m \subset \alpha$ ，

－ $\mathrm{n} \subset \beta$ ，则 $\mathrm{m} \perp \mathrm{n} . \mathrm{n} \subset \beta$ ，则 $\mathrm{m} \| \mathrm{n}$
$C \quad$ 若 $m \perp n, m \subset \alpha \quad D \quad$ 若 $m \perp \alpha, m \| n$ ，
－ $\mathrm{n} \subset \beta$ ，则 $\alpha \perp \beta$ ， $\mathrm{n} \| \beta$ ，则 $\alpha \perp \beta$

7．（ 5 分）（ $2013 \cdot$ 广东）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 $\mathrm{F}(3,0)$ ，离心率等于 $\frac{3}{2}$ ，则 C 的方程是 ）
A
－$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
－$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{5}=1$
－$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{\sqrt{5}}=1$

8．（5分）（2013•广东）设整数 $\mathrm{n} \geq 4$ ，集合 $\mathrm{X}=\{1,2,3, \ldots, \mathrm{n}\}$ ．令集合 $\mathrm{S}=\{(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) \mid \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} \in \mathrm{X}$ ，且三条件 x $<\mathrm{y}<\mathrm{z}, \mathrm{y}<\mathrm{z}<\mathrm{x}, \mathrm{z}<\mathrm{x}<\mathrm{y}$ 恰有一个成立 $\}$ 。若 $(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ 和 $(\mathrm{z}, \mathrm{w}, \mathrm{x})$ 都在 S 中，则下列选项正确的是 ）
$A \quad(y, z, w) \in S B \quad(y, z, w) \in S C \quad(y, z, w) \notin D \quad(y, z, w) \notin$
－，（ $x, y, w) \cdot,(x, y, w) \cdot S,(x, y, w \cdot S,(x, y, w$
$\notin S \quad \in S \quad) \in S \quad \notin S$

9．（5分）（2013•广东）不等式 $x^{2}+x-2<0$ 的解集为 $\_\_\_\_$ ．

10．（5分）（2013•广东）若曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\ln \mathrm{x}$ 在点 $(1, \mathrm{k})$ 处的切线平行于 x 轴，则 $\mathrm{k}=$ $\_\_\_\_$ ．

11．（5分）（2013•广东）执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 4 ，则输出 s 的值为 $\_\_\_\_$。

12．（5分）（2013•广东）在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，已知 $a_{3}+a_{8}=10$ ，则 $3 a_{5}+a_{7}=$ $\_\_\_\_$。

13．（5分）（2013•广东）给定区域 D ：$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+4 \mathrm{y} \geqslant 4 \\ \mathrm{x}+\mathrm{y} \leqslant 4 \\ \mathrm{x} \geqslant 0\end{array}\right.$ ．令点集 $\mathrm{T}=\left\{\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right) \in \mathrm{D} \mid \mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0} \in \mathrm{Z},\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)\right.$ 是 $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 在D上取得最大值或最小值的点\}, 则 T 中的点共确定 $\_\_\_\_$条不同的直线．

14．（ 5 分）（ 2013 • 广东）（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2} \cos t \\ y=\sqrt{2} \sin t\end{array}\right.$（ $t$ 为参数），$C$ 在点 $(1,1)$ 处的切线为 1 ，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 1 的极坐标方程为 $\_\_\_\_$。

16．（12分）（2013 • 广东）已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt{2} \cos \left(\mathrm{x}-\frac{\pi}{12}\right), ~ \mathrm{x} \in \mathrm{R}$ 。
（1）求 $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值；
（2）若 $\cos \theta=\frac{3}{5}, \quad \theta \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$ ，求 $f\left(2 \theta+\frac{\pi}{3}\right)$ ．

17．（12分）（ $2013 \cdot$ 广东）某车间共有 12 名工人，随机抽取 6 名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
（1）根据茎叶图计算样本均值；
（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人。根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间 12 名工人中，任取 2 人，求恰有 1 名优秀工人的概率．

18．（14分）（2013•广东）如图1，在等腰直角三角形 ABC 中，$\angle \mathrm{A}=90^{\circ}, \mathrm{BC}=6, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ 分别是 $\mathrm{AC}, \mathrm{AB}$ 上的点， $C D=B E=\sqrt{2}, O$ 为 $B C$ 的中点．将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起，得到如图2所示的四棱椎 $A^{\prime}-B C D E$ ，其中 $A^{\prime} O=\sqrt{3}$ ．
（1）证明： $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{O} \perp$ 平面 BCDE ；
（2）求二面角 $\mathrm{A}^{\prime}-\mathrm{CD}-\mathrm{B}$ 的平面角的余弦值。

图1

图2

19．（14分）（2013 •广东）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1}=1, \frac{2 S_{n}}{n}=a_{n+1}-\frac{1}{3} n^{2}-n-\frac{2}{3}, n \in N^{*}$ ．

（1）求 $\mathrm{a}_{2}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{7}{4}$ ．

20．（14分）（ 2013 •广东）已知抛物线 C 的顶点为原点，其焦点 $\mathrm{F}(0, \mathrm{c}) ~(\mathrm{c}>0) ~$ 到直线 $1: \mathrm{x}-\mathrm{y}-2=0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，设 P 为直线 $l$ 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ ，其中 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为切点．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）当点 $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 AB 的方程；
（3）当点 P 在直线 $l$ 上移动时，求 $|\mathrm{AF}| \cdot|\mathrm{BF}|$ 的最小值．

21．（14分）（2013•广东）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-\mathrm{kx}^{2}(\mathrm{k} \in \mathrm{R})$ ．
①当 $\mathrm{k}=1$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调区间；
②当 $\mathrm{k} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right]$ 时，求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $[0, \mathrm{k}]$ 上的最大值 M ．

## 2013年广东省高考数学试卷（理科）