2013 地方卷 · 文 数学

若数 $z=i(-2-i)$（ i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在

若 $\sin \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则 $\cos a=$

若集合 $A=\{2,3\}, B=\{1,2,3\}$，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是

总体由编号 $01, ~ 02, ~ \cdots, ~ 19, ~ 20$ 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为

下列选项中，使 $x<\frac{1}{x}<x^{2}$ 成立的 $x$ 的取值范围是

阅读如下程序框图，如果输出 $i=4$，那么空白的判断框中应填入的条件是

如图，已知 $l_{1} \perp l_{2}$，圆心在 $l_{1}$ 上，半径为 1 cm 的圆 $O$ 在 $t=0$ 时与 $l_{2}$ 相切于点 A，圆 $O$沿 $l_{1}$ 以 $1 m / s$ 的速读匀速向上移动，圆被直线 $l_{2}$ 所截上方圆弧长记为 $x$，令 $y=\cos x$，则

$y$ 与时间 $t(0<t<1$，单位： s$)$ 的函数 $y=f(t)$ 的图像大致为


A．

B．

c

D．

若曲线 $y=x^{\alpha}(\alpha \in R)$ 在点 $(1,2)$ 处的切线经过坐标原点，则 $\alpha=$

某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 $n\left(n \in N_{+}\right)$等于 $\_\_\_\_$。

设 $f(x)=\sqrt{3} \sin 3 x+\cos 3 x$，若对任意实数 $x$ 都有 $|f(x)| \leqslant a$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$．

若圆 C 经过坐标原点和点 $(4,0)$，且与直线 $\mathrm{y}=1$ 相切，则圆 C 的方程是

如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 $\alpha$ 上，且 $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$，则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 $\_\_\_\_$．

正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}^{2}-(2 n-1) a_{n}-2 n=0$．

（1）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式 $a_{n}$．
（2）令 $b_{n}=\frac{1}{(n+1) a_{n}}$，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 前 $n$ 项的和 $T_{n}$．

在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$，已知 $\sin A \sin B+\sin B \sin C+\cos 2 B=1$．
（1）求证：$a, b, c$ 成等差数列；
（2）若 $C=\frac{2}{3} \pi$，求 $\frac{a}{b}$ 的值．

（本小题满分 12 分）
小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为：以 0 为起点，再从 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$（如图）这六个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向

量的数量积为 $X$，若 $X>0$ 就去打球，若 $X=0$ 就去唱歌，若 $X<0$ 就去下棋。
（1）写出数量积 $X$ 的所有可能值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。

（本小题满分 12 分）
如图，直四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$A B / / C D, A D \perp A B, A B=2, A D=\sqrt{2}$， $A A_{1}=3, \mathrm{E}$ 为 CD 上一点，$D E=1, E C=3$

（1）证明： $\mathrm{BE} \perp$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$；
（2）求点 $B_{1}$ 到平面 $E A_{1} C_{1}$ 的距离。

（本小题满分 13 分）
椭圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}, a+b=3$．

（1）求椭圆 C 的方程；
（2）如图，$A, B, D$ 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 $x$轴于点 N，直线 AD 交 BP 于点 M。设 BP 的斜率为 $k$， MN 的斜率为 $m$。证明： $2 m-k$ 为定值。