2013 地方卷 · 理 数学

设 $i$ 是虚数单位，$\overline{\mathrm{z}}$ 是复数 $z$ 的共轭复数，若 $z \cdot \bar{z} i+2=2 z$，则 $\mathrm{z}=$

如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是

在下列命题中，不是公理的是

＂$a \leq 0$＂＂是函数 $f(x)=|(a x-1) x|$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内单调递增＂的

某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 $86,94,88,92,90$，五名女生的成绩分别为 $88,93,93,88,93$．下列说法一定正确的是

已知一元二次不等式 $f(x)<0$ 的解集为 $\left\{x \mid x<-1\right.$ 或 $\left.x>\frac{1}{2}\right\}$，则 $f\left(10^{x}\right)>0$ 的解集为

在极坐标系中，圆 $\rho=2 \cos \theta$ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为）

在平面直角坐标系中，$O$ 是坐标原点，两定点 $A, B$ 满足 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$，则点集 $\{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leq 1, \lambda, \mu \in R\}$ 所表示的区域的面积是

若函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 有极值点 $x_{1}, x_{2}$，且 $f\left(x_{1}\right)=x_{1}$，则关于 $x$ 的方程 $3(f(x))^{2}+2 a f(x)+b=0$ 的不同实根个数是

若 $\left(x+\frac{a}{\sqrt[3]{x}}\right)^{8}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 7，则实数 $a=$ $\_\_\_\_$．

设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$．若 $b+c=2 a$，则 $3 \sin A=5 \sin B$ 则角 $C=$ $\_\_\_\_$．

已知直线 $y=a$ 交抛物线 $y=x^{2}$ 于 $A, B$ 两点．若该抛物线上存在点 $C$，使得 $\angle A C B$ 为直角，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$．

如图，互不相同的点 $A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n} \ldots$ 和 $B_{1}, B_{2} \ldots B_{n} \ldots$ 分别在角 O 的两条边上，所有 $A_{n} B_{n}$相互平行，且所有梯形 $A_{n} B_{n} B_{n+1} A_{n+1}$ 的面积均相等．设 $O A_{n}=a_{n}$ 若 $a_{1}=1, a_{2}=2$ 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $\_\_\_\_$．

第（1）题图

（本小题满分 12 分）
设函数 $f(x)=a x-\left(1+a^{2}\right) x^{2}$，其中 $a>0$，区间 $I=\{x \mid f(x)>0\}$
（I）求 $I$ 的长度（注：区间 $(\alpha, \beta)$ 的长度定义为 $\beta-\alpha$ ）；
（II）给定常数 $k \in(0,1)$，当 $1-k \leq a \leq 1+k$ 时，求 $I$ 长度的最小值．

（本小题满分 12 分）
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{1-a^{2}}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上
（I）若椭圆 $E$ 的焦距为 1，求椭圆 $E$ 的方程；
（II）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，$P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_{2} P$ 交 $y$ 轴与点 $Q$，并且 $F_{1} P \perp F_{1} Q$，证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上．

（本小题满分 13 分）

如图，圆锥顶点为 $P$．底面圆心为 $O$，其母线与底面所成的角为 $22.5^{\circ} . A B$ 和 $C D$ 是底面圆 $O$ 上的两条平行的弦，轴 $O P$ 与平面 $P C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$，
（I）证明：平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线平行于底面；
（II）求 $\cos \angle C O D$．

（本小题满分 13 分）
设函数 $f_{x}(x)=-1+x+\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{3}}{3^{2}}+\ldots+\frac{x^{n}}{n^{2}}\left(x \in R, n \in N^{*}\right)$，证明：
（I）对每个 $n \in N^{*}$，存在唯一的 $x_{n} \in\left[\frac{2}{3}, 1\right]$，满足 $f_{x}\left(x_{n}\right)=0$；
（II）对任意 $p \in N^{*}$，由（I）中 $x_{n}$ 构成的数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $0<x_{n}-x_{n+p}<\frac{1}{n}$．